Cтраница 2
Группой кватернионов называется подмножество ( е, i, , k, - e, -, - /, - k алгебры кватернионов ( сй § I гл. Проверить, что эти восемь элементов действительно образуют группу относительно умножения. [16]
Произведение кватернионов находится с учетом (10.2) по правилу умножения многочленов. [17]
Алгебры кватернионов ( - % -) и ( - j -) изоморфны в том и только том случае, когда квадратичные формы ах Ьх - abx и а к Ь к - а Ь х эквивалентны. [18]
Против кватернионов имеются и возражения. Одно из них, например, заключается в следующем: комплексные числа вводят пространство с Е 1 в пространство с Е 2, которое можно представить визуально, в то время как кватернионы связаны с переходом к пространству с Е 4, которое визуально представить невозможно. [19]
Алгебра кватернионов является удвоением ассоциативной и коммутативной алгебры, поэтому опа ассоциативна. [20]
Алгебра кватернионов некоммутативна, поэтому алгебра Кэли неассоциативпа. Можно доказать, что любая подалгебра алгебры Кэли, порожденная двумя элементами, ассоциативна. [21]
Для кватернионов определены операции сложения, умножения и другие. Не следует думать, что кватернион - это матрица или другая столь же конкретная конструкция. Вспомним, что, например, понятие группы не зависит от ее конкретизации. Точно так же понятие кватерниона предполагает лишь наличие 4 функций вне зависимости от конкретного каркаса, который бы их связывал. [22]
Множество кватернионов с нормой, равной единице, обозначим HI. Очевидно, что множество HI есть группа по умножению. [23]
Модулем кватерниона qa - - Ы - - cj - - - dk называется число q Yo-2 Н - & с2 d2, сопряженным - кват ерниок. [24]
Пространство кватернионов Н состоит из элементов вида х х ix2 / х3 - & х4, где х, х2, х, х4 - произвольные веществеиные числа а г, , & - мнимые еданицы8 т.е. iz j - z - k - 4, связанные между собой соотношениями г - - - i & Как вещественное векторное пространство ОН изоморфно IR4, а с точки зрения алгебраической структуры IH является телом. [25]
Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля. [26]
Следовательно, кватернион т является вещественным числом уо. [27]
Требуется повернуть заданный кватернион рассмотренными выше способами. [28]
Умея находить обратный кватернион, легко найти и частные двух кватернионов. Действительно, пусть даны два кватерниона а, р, из которых первый отличен от нуля. [29]
Аналоги алгебр кватернионов над полями характеристики 2 определяются по-другому ( см. упр. [30]