Cтраница 3
Требование зависимости стационарной бесстолкновительной функций распределения от однозначных интегралов движения в совокупности с упомянутым выше граничным условием сшивки с максвелловским распределением в центре сильно ограничивает в случае шаровых скоплений класс допустимых функций распределения. [31]
Таким образом решения в форме ( 3) удовлетворяют при любых коэфициентах av, b сt поверхностным условиям для перемещений, - функции unt vn, wn принадлежат, таким образом, к классу допустимых функций в нашей вариационной задаче. [32]
Основные преимущества МКЭ проистекают из его сеточного ( разбивка на конечные элементы) и вариационного ( использование вариационных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный подход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЗ облегчает известные трудности, связанные с выбором базисных функций в вариационных методах. [33]
В § 45 было указано одно обобщение постановки задачи Римана, при котором общей теорией охватываются и ее исключительные случаи, когда коэффициент G ( t) имеет на контуре нули и полюсы. При этом был расширен класс допустимых функций. В качестве решений допускались кусочно аналитические функции, одно из предельных значений которых обращалось в конечном числе точек контура в бесконечность. [34]
Выше мы привели теоремы об устойчивости, составляющие основу прямого метода Ляпунова. В связи с расширением класса допустимых функций Ляпунова ( теоремы 3, 4 и 5), естественно, возникает проблема продельного расширения этих функций не только в задачах асимптотической устойчивости, но и в задачах слабой ( неасимптотической) устойчивости. [35]
Уравнения выводятся с учетом возможной неортогональности. Это, естественно, приводит к расширению класса допустимых функций, но вид уравнений сильно усложняется. В общем случае уравнения получаются чересчур громоздкими. Однако если сделать некоторые дополнительные не очень сильные допущения, то уравнения существенно упрощаются и становятся аналогичными обычным уравнениям Фока. [36]
Эти методы применяются к экстремальным задачам, для которых некоторым общим образом можно утверждать существование экстремальной функции без какой-либо дополнительной информации о ее природе. Затем каким-нибудь способом вводятся вариации этой функции в классе допустимых функций, и экстремальное свойство функции приводит к некоторым уравнениям или неравенствам. Может оказаться, что из них удастся определить или охарактеризовать экстремальную функцию. [37]
Вариационный метод применим только тогда, когда класс допустимых функций не пуст. Условия, к-рым должна удовлетворять заданная на границе функция ф для того, чтобы класс допустимых функций был не пуст, даются теоремами вложения. Функция и ( х), для к-рой функционал К ( и) принимает наименьшее значение в классе допустимых функций, является обобщенным решением задачи ( 1) - ( 2) ( см. Дифференциальное уравнение с частными производными; функциональные методы решения) и, напр. [38]
Обычно задачу о магистральных трещинах, развивающихся, в твердых телах, решают для прямолинейных трещин в предположении, что линия распространения трещины задана. Можно-отказаться от этого ограничения, если рассматривать последовательность решений задачи теории упругости для одинаковых тел, каждое из которых содержит некоторый разрез ( трещину) произвольной конфигурации. Эта последовательность составляет класс допустимых функций, из которых частное решение, отвечающее равновесию тела с трещиной, выбирается с помощью излагаемого здесь вариационного принципа. [39]
Обычно задачу о магистральных трещинах, развивающихся в твердых телах, решают для прямолинейных трещин в предположении, что линия распространения трещины задана. Можно отказаться от этого ограничения, если рассматривать последовательность решений задачи теории упругости для одинаковых тел, каждое из которых содержит некоторый разрез ( трещину), произвольной конфигурации. Эта последовательность составляет класс допустимых функций, из которых частное решение, отвечающее равновесию тела с трещиной, выбирается с помощью излагаемого здесь вариационного принципа. [40]
Вариационный метод применим только тогда, когда класс допустимых функций не пуст. Условия, к-рым должна удовлетворять заданная на границе функция ф для того, чтобы класс допустимых функций был не пуст, даются теоремами вложения. Функция и ( х), для к-рой функционал К ( и) принимает наименьшее значение в классе допустимых функций, является обобщенным решением задачи ( 1) - ( 2) ( см. Дифференциальное уравнение с частными производными; функциональные методы решения) и, напр. [41]
Функционал (17.5) обладает теми же свойствами, что и аналогичные функционалы в предыдущих параграфах. Для построения функционала в виде отношения квадратичных функционалов ( уже для конкретного параметра как собственного значения) нужно, как это мы делали ранее, приравнять L ( u) нулю, разрешить полученное равенство относительно интересующего нас параметра и считать это выражение функционалом. Таким способом можно поступать с любым из входящих в задачу параметров, так как ни один из них не ограничивает класс допустимых функций. Исключение составляет лишь частота k во внешних задачах - она содержится в накладываемом на допустимые функции условии излучения, которое не является естественным. [42]
Минковского ( - - - - - ( -), будет, очевидно, по-прежнему удовлетворять уравнениям поля в пустоте, поэтому обладает центральной симметрией, но будет нестатической. Известно, впрочем, что для реальных объектов, изученных в настоящее время, область г а не существует, так как гравитационный радиус всегда оказывается внутри реального тела, создающего центрально-симметрическое поле гравитации; в этом случае в уравнениях поля справа появляется тензор энергии-импульса, и задача решается уже не в пустоте. Вообще можно отметить, что, как стало ясно в настоящее время ( см. [618]), можно утверждать следующее: 1) известные до сих пор доказательства теоремы Биркгоффа недостаточно корректны, так как не опираются на понятие класса допустимых функций, 2) теорему Биркгоффа, по-видимому, можно доказать строго при постулатах Лихне-ровича о классе допустимых функций ( см. § 50), 3) меняя класс допустимых функций, можно, по-видимому, привести примеры, когда эта теорема может оказаться не верной, хотя физическая значимость таких примеров неясна. [43]
Минковского ( - - - - - ( -), будет, очевидно, по-прежнему удовлетворять уравнениям поля в пустоте, поэтому обладает центральной симметрией, но будет нестатической. Известно, впрочем, что для реальных объектов, изученных в настоящее время, область г а не существует, так как гравитационный радиус всегда оказывается внутри реального тела, создающего центрально-симметрическое поле гравитации; в этом случае в уравнениях поля справа появляется тензор энергии-импульса, и задача решается уже не в пустоте. Вообще можно отметить, что, как стало ясно в настоящее время ( см. [618]), можно утверждать следующее: 1) известные до сих пор доказательства теоремы Биркгоффа недостаточно корректны, так как не опираются на понятие класса допустимых функций, 2) теорему Биркгоффа, по-видимому, можно доказать строго при постулатах Лихне-ровича о классе допустимых функций ( см. § 50), 3) меняя класс допустимых функций, можно, по-видимому, привести примеры, когда эта теорема может оказаться не верной, хотя физическая значимость таких примеров неясна. [44]
Минковского ( - - - - - ( -), будет, очевидно, по-прежнему удовлетворять уравнениям поля в пустоте, поэтому обладает центральной симметрией, но будет нестатической. Известно, впрочем, что для реальных объектов, изученных в настоящее время, область г а не существует, так как гравитационный радиус всегда оказывается внутри реального тела, создающего центрально-симметрическое поле гравитации; в этом случае в уравнениях поля справа появляется тензор энергии-импульса, и задача решается уже не в пустоте. Вообще можно отметить, что, как стало ясно в настоящее время ( см. [618]), можно утверждать следующее: 1) известные до сих пор доказательства теоремы Биркгоффа недостаточно корректны, так как не опираются на понятие класса допустимых функций, 2) теорему Биркгоффа, по-видимому, можно доказать строго при постулатах Лихне-ровича о классе допустимых функций ( см. § 50), 3) меняя класс допустимых функций, можно, по-видимому, привести примеры, когда эта теорема может оказаться не верной, хотя физическая значимость таких примеров неясна. [45]