Аппроксимация - дифференциальное уравнение
Cтраница 1
Аппроксимация дифференциальных уравнений (1.17.4) конечными разностями приводит к системе из двух линейных уравнений относительно скоростей va, v в рассматриваемой узловой точке сетки. Эта система решена по формулам Крамера. [1]
Основу аппроксимации дифференциального уравнения в частных производных системой обыкновенных дифференциальных уравнений составляет приближенная замена частных производных некоторыми выражениями, содержащими лишь отдельные значения функции. Эти выражения в математической литературе называют формулами численного дифференцирования. [2]
Сначала выполняется аппроксимация дифференциальных уравнений отдельных элементов цепей разностными уравнениями. Полученным разностным уравнениям ставятся в соответствие активные резистивные схемы замещения. В результате строится схема замещения всей цепи, содержащая только источники тока или напряжения и резистивные элементы. Затем для фиксированного момента времени формируется система алгебраических уравнений, описывающая процесс в активной резистивной схеме замещения цепи. После этого решается полученная система алгебраических уравнений. Для определения значений переменных в последующие моменты времени следует заново рассчитать параметры системы алгебраических уравнений и решить ее. [3]
Описанные способы аппроксимации дифференциальных уравнений разностными дают удовлетворительные результаты только в тех случаях, когда период квантования to мал по сравнению с наименьшей постоянной времени объекта. В системах управления промышленными технологическими объектами это условие обычно выполняется вследствие большой инерционности объектов и высокого быстродействия современных управляющих вычислительных машин, позволяющих реализовать опрос всех контуров регулирования с малым периодом. [4]
Обрезание потенциала и аппроксимация дифференциальных уравнений движения приводят вместе с погрешностями округления чисел к дрейфу энергии. Траектории при этом необратимы во времени. [5]
 |
Сетка на плоскости со схемой счета для явной задачи. [6] |
Известно, что аппроксимацию дифференциального уравнения можно осуществлять различными способами. Но помимо вопроса построения конечно-разностных уравнений здесь еще возникают фундаментальные вопросы о методе их решения, устойчивости разностной схемы при счете и точности получаемых решений. Так как мы решаем задачу на машине, то не последнюю роль играют вопросы размещения в машинной памяти необходимой информации и удобства алгоритма для программирования. [7]
Такая приближенная замена называется аппроксимацией дифференциального уравнения разностным. Разностные уравнения в исчислении разностей соответствуют дифференциальным уравнениям в дифференциальном исчислении, так как дифференциальные уравнения, встречающиеся на практике, обычно возникают из физических задач через конечно-разностные системы. Если обратный переход от непрерывного случая к дискретному невозможен, то есть основание сомневаться в физическом смысле дифференциальных уравнений. [8]
Разностные уравнения применяются: 1) для аппроксимации дифференциальных уравнений ( пп. [9]
Следует заметить, что в случае продольных схем при аппроксимации дифференциального уравнения на прямых, близких к граничным, обычно возникают трудности, связанные с нарушением однородности процесса приближения. В некоторых частных случаях, правда, эти трудности удается существенно ослабить за счет использования граничных данных. [10]
В большинстве задач система алгебраических уравнений, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными, имеет очень большой порядок ( как правило, Л 100), но обладает разреженной матрицей. В случае нелинейных систем итерационные процедуры, как правило, сводят к линейным системам. [11]
Мы желаем показать, как несущественные с первого взгляда различия в аппроксимации дифференциального уравнения приводят к разностным схемам с весьма различными свойствами. С этой целью приведем четыре разностные схемы для численного интегрирования задачи ( 1) - ( 3), причем три первые из них разнятся лишь аппроксимацией производной по времени. [12]
Существующие в настоящее время работы ъ этом направлении, использующие либо аппроксимацию дифференциального уравнения объекта уравнением второго или третьего порядка, либо аппроксимацию гиперповерхности переключения в фазовом пространстве системы более простой структурой, как правило, не определяют строгого подхода к выбору таких аппроксимаций с позиций синтеза квазиоптимальной системы по допустимой величине погрешности процесса, что наиболее отвечало бы инженерным требованиям. [13]
В первом варианте аппроксимация граничного условия оказывается значительно более грубой, чем аппроксимация дифференциального уравнения, где погрешность имеет второй порядок малости. [14]
Когда расчетная область содержит небольшое число расчетных точек, дискретные аналоги представляют собой грубую аппроксимацию дифференциального уравнения. При этом полученное численное решение обычно не совпадает с точным решением дифференциального уравнения. При увеличении числа расчетных точек численное решение становится более корректным и приближается к точному. Для многих задач использование даже небольшого числа расчетных точек приводит к решениям, которые достаточно точны для практических целей, что будет продемонстрировано в этой и других главах. [15]
Страницы: 1 2 3 4