Cтраница 3
Нетрудно видеть, что-освободившихся в результате введения параметра ( os постоянных в принципе достаточно для удовлетворения любых условий на торце. Трудности сводятся лишь к аппроксимации граничных условий. Наиболее просто эта проблема решается методами моментов. [31]
Здесь ф обозначает оценочное значение переменной. С учетом принятых способов аппроксимации граничных условий коэффициенты с2 и bL2 равны нулю. [32]
В этом случае согласованность операторов обеспечивает сходимость решения. Данный результат справедлив не всегда, поскольку порядок сходимости е зависит также от аппроксимации граничных условий. Дополнительные сложности также возникают при рассмотрении нестационарных задач. [33]
Изложенный здесь признак устойчивости нестационарных разностных задач на отрезке, учитывающий влияние граничных условий, применим и в случае краевых задач на отрезке для систем разностных уравнений. В этом случае естественные на первый взгляд схемы, удовлетворяющие признаку Неймана, часто оказываются неустойчивыми из-за неудачной аппроксимации граничных условий, и важно уметь подбирать схемы, свободные от этого недостатка. [34]
Однако при постановке конкретных задач фильтрации в системе скважин, когда граничное условие имеет вид (1.30), (1.35) и (1.36), встречаются определенные трудности при аппроксимации граничных условий, так как скважины имеют конечные радиусы. [35]
Вначале для простоты изложения предположим, что продуктивный пласт представляет собой параллелепипед, который дренируется одной несовершенной по степени вскрытия скважиной. Такую трехмерную область газоносности G покрываем трехмерной сеточной областью G с шагами А, Д /, Az вдоль осей х, у и z соответственно. Для обеспечения аппроксимации граничных условий со вторым порядком погрешности по пространственным координатам разместим сеточную область таким образом, чтобы сеточная граница Г была расположена посредине между граничными точками. [36]
В общем это точное граничное условие может быть использовано при численной реализации. С вычислительной точки зрения это и трудно, и требует значительных компьютерных затрат. Рассмотрим три возможных типа аппроксимации граничных условий, не требующих преобразования Лапласа. [37]
Погрешность первого порядка вносит в уравнения неразрывности и теплопереноса замена первых производных нецентральными разностями. Погрешность первого порядка вносится также при вычислении скоростей, ибо скорость в точке с целым индексом определяется по значениям давления в точках с дробным индексом, полученным прибавлением половины. Погрешность первого порядка допускается также при аппроксимации граничных условий. [38]
Преимуществом неявных схем (6.3.11), (6.3.12), в отличие от явных схем, рассмотренных в § 6.2, является отсутствие ограничения на величину т из условий устойчивости. Это преимущество остается в силе, если рассматривать уравнения (6.3.11), (6.3.12) как модельные, вне связи с уравнением для функции тока и граничными условиями. При использовании же упомянутых схем в системе уравнений Навье - Стокса возникает ряд существенных ограничений на величину т, зависящих в общем случае от способа решения уравнения для функции тока, способа аппроксимации граничного условия для вихря и других факторов. Конкретные сведения будут даны в примерах, изложенных в § § 6.6, 6.8 после завершения описания основной схемы. [39]
Кроме конечного времени эксперимента, вычислительная физика сталкивается со вторым важным ограничением - конечным размером системы. Интерес представляет, вообще говоря, вычисление характеристик системы в термодинамическом пределе, когда число частиц стремится к бесконечности. Компьютерные эксперименты, однако, позволяют моделировать систему малого размера по сравнению с термодинамическим пределом, так что становятся возможными эффекты конечности размеров системы. Для их уменьшения выполняется аппроксимация граничного условия. Последнее, видимо, изменяет ряд свойств системы. [40]
Аналогичным образом метод баланса применяется и в более сложных ситуациях. Следует лишь аккуратно записать выражения для всех составляющих тепловых потоков с учетом фактических площадей граней и объема элементарной ячейки. При этом в выражениях для кондуктивных тепловых потоков участвуют значения температур в соседних узлах, а в остальных выражениях используется только температура и п, т в данном узле. Заметим, что без применения метода баланса вопрос аппроксимации граничных условий в угловых точках вообще неясен, так как непонятно, в каком из двух граничных условий аппроксимировать производную. [41]
Второй подход в настоящее время широко применяется для решения сложных задач математической физики. Поскольку в нем операторы краевых подзадач на дробных ( промежуточных) шагах имеют более простую структуру, то построение их численных аппроксимаций значительно проще и нередко осуществляется хорошо изученными численными методами. Однако в данном подходе одна из трудностей связана с выбором граничных условий для промежуточных подзадач. Следует отметить, что проблема выбора граничных условий для задач на дробных шагах и корректная аппроксимация граничных условий из исходной постановки вообще свойственны методам расщепления. [42]
Годунова без применения неявной аппроксимации. Далее из системы (2.3.39) исключаются все уравнения, зависящие от конечной разности Uy - U 1э так как она не определена. Вместо исключенных уравнений используются граничные условия. Заметим, что при корректной постановке граничных условий, число их в точности равно числу положительных собственных значений системы уравнений ( разд. Для решения системы (2.3.39) в точке 70 был использован метод простой итерации. Выписанная аппроксимация граничных условий важна при численном исследовании существенно нестационарных задач, в частности, таких как удары сильных струй газа о жесткую стенку. Применение такой схемы позволяет сохранять аппроксимацию граничных условий по времени и исключить появление немонотонно стей в значениях сеточных функций около стенки. [43]
Годунова без применения неявной аппроксимации. Далее из системы (2.3.39) исключаются все уравнения, зависящие от конечной разности Uy - U 1э так как она не определена. Вместо исключенных уравнений используются граничные условия. Заметим, что при корректной постановке граничных условий, число их в точности равно числу положительных собственных значений системы уравнений ( разд. Для решения системы (2.3.39) в точке 70 был использован метод простой итерации. Выписанная аппроксимация граничных условий важна при численном исследовании существенно нестационарных задач, в частности, таких как удары сильных струй газа о жесткую стенку. Применение такой схемы позволяет сохранять аппроксимацию граничных условий по времени и исключить появление немонотонно стей в значениях сеточных функций около стенки. [44]
Заменяя в дифференциальном уравнении частные производные теми или иными разностными отношениями, мы аппроксимируем его на некотором шаблоне. Для описания точности аппроксимации отдельных производных естественно использовать введенное выше понятие погрешности аппроксимации по отношению к классу функций. Аппроксимация производных уже рассматривалась в § 1.3. Там же были приведены главные члены погрешности аппроксимации. Односторонние двухточечные аппроксимации первой производной (1.22) имеют первый порядок точности, а симметричные ( центральные) (1.23) - второй. Симметричные аппроксимации (1.24) второй производной также имеют второй порядок точности. Если привлечь три узла для аппроксимации первой производной, то получим односторонние аппроксимации (1.23) второго порядка точности. Их иногда применяют для аппроксимации граничных условий. [45]