Cтраница 2
Мера ц, определенная на а-поле &, является неотрицательной и сг-аддитивной функцией. [16]
Пусть есть а-конечная а-мера на а-поле подмножеств пространства X, а А есть а-идеал всех множеств, мера [ л которых равна нулю. Рассмотрим банахово пространство L ( с обычной нормой) всех интегрируемых функций ( отождествленных по модулю идеала А) на пространстве X. L), совпадает с пространством М ( с обычной нормой, которая задается правой частью равенства ( 1) § 44, где ф следует заменить на его абсолютное значение) всех ограниченных - измеримых функций ( отождествленных по модулю идеала А) на пространстве X. Учебники по функциональному анализу часто не останавливаются на описании пространства, сопряженного к пространству УИ. [17]
& тя является составным а-подполем а-поля & т, a если 7 конечно, то & т &-конечно-составное а-подполе. [18]
И, что поле является а-полем множеств. [19]
Иногда Е будет определена на произвольном а-поле 2 подмножеств абстрактного множества Л, а в некоторых случаях ее областью определения будет поле борелевских множеств комплексной плоскости. [20]
Вторым элементом / вероятностного пространства является а-поле ( или а-алгебра) событий. Вопреки своему, возможно, несколько устрашающему названию, это очень простое, доступное для понимания понятие. Рассмотрим множество элементарных исходов, имеющих смысл или представляющих интерес в данном эксперименте. В приведенных выше примерах это могло бы быть множество всех молекул со скоростью меньше ( kT / m) l / 2 или множество всех чашек Петри, содержащих популяции, которые состоят более чем из N бактерий. Такое подмножество А пространства элементарных событий Q ( AdQ) называется событием. Множество sf событий вполне естественно обладает следующими свойствами. [21]
W ( M)) - а-поле, порожденное борелевскими цилиндрическими множествами. [22]
Независимость счетного числа событий А или а-полей, содержащихся в &, определяется как независимость каждой конечной совокупности этих событий или а-полей. [23]
& регулярна, а одно из а-полей или & р сепарабельно. [24]
Напомним, что конечная обобщенная мера ц на а-поле ffi подмножеств множества Q называется абсолютно непрерывной относительно а-конечной меры v ( также определенной на & В), если каждое v-нулевое множество является также ц-нулевым. [25]
Однако если - t и 5 3 суть а-поля множеств Qx и Й2 соответственно, то произведение полей - х и - 2 не обязательно будет сг-полем. Если ( Qlf г) и ( Qa, 2) - измеримые пространства, то, по определению, ( S xQ x) называется произведением измеримых пространств. [26]
Так как число элементарных исходов конечно, в качестве а-поля событий можно выбрать множество всех подмножеств пространства элементарных событий, и такой выбор, как отмечалось выше, вполне естествен. Условие (2.8) выполняется в этом случае автоматически. Рассмотрим теперь несколько иную ситуацию. Пусть а-поле на этот раз не совпадает с множеством всех подмножеств пространства элементарных событий. [27]
Если область определения счетно аддитивной спектральной меры Е является а-полем, то Е счетно аддитивна в сильной операторной топологии и ограничена. [28]
Говорят, что вещественно замкнутое поле F есть т) а-поле, если упорядоченное множество ( F, С является т а-множеством. Докажите, что любые два г а-поля мощности соа изоморфны. [29]
Если X -метрическое пространство, мощность X которого а-совершенна, есть а-поле всех борелевских пространств X, а А - собственный а-идеал ( поля), содержащий все одноточечные подмножества, то алгебра § УД не изоморфна никакому сг-полю множеств. [30]