Cтраница 4
Если всякая пара объектов категории С связывается не более чем одним морфизмом, то нерв категории С является симплициальным комплексом. [46]
Условие коммутирования со с операторами грани отражает - в этом общем контексте - условие склейки 0а сгПт 0т сгПт для симплициальных комплексов. [47]
Первым шагом при подходе Сул-ливана является решение проблемы Тома: он приводит конструкцию коммутативных коцепей ( в духе де Рама), которая проходит над любым полем коэффициентов нулевой характеристики и для любого симплициального комплекса. Как мы узнали из [17], Том в действительности привел такую же конструкцию ( над вещественными числами) в неопубликованной лекции в 1959 г. Для любого односвязного симплициального комплекса X и соответствующего комплекса Сул-ливана - де Рама АХ Сулливан строит гомологическую эквивалентность Мх - АХ, где Мх является минимальной алгеброй. Минимальные алгебры свободны как градуированные коммутативные алгебры, значения же дифференциала в таких алгебрах являются разложимыми элементами. Каждой минимальной алгебре М Сулливан взаимно однозначно сопоставляет рациональную башню Постникова. Процесс очевидный, но в высшей степени неестественный. Сопоставления Х - МХ и М - Х ( М) используются Сулливаном для доказательства того, что рациональные гомотопические типы одно-связных клеточных разбиений соответствуют классам изоморфных односвязных минимальных алгебр и что соответствующие рациональные гомотопические категории эквивалентны. [48]
В этом отношении преимущество принадлежит клеточному разбиению, при к-ром количество клеток может быть гораздо меньшим, чем количество симплексов при любом симплициальном разбиении этого полиэдра. С другой стороны, и симплициальные комплексы и триангуляции имеют свои преимущества, напр, при симпли-циальной аппроксимации непрерывного отображения, при составлении и применении матриц инцидентности, при использовании комплексов для гомология, исследования общих топологич. [49]
Это контравариантный функтор, сопоставляющий каждому симплициальному множеству X алгебру Л Х horns ( X, y) i где структура алгебры индуцируется соответствующей структурой в V. Таким образом, для ( упорядоченного) симплициального комплекса К элементами алгебры AQK являются согласованные наборы полиномиальных 0-форм на ( невырожденных) симплексах / С, рассматривавшиеся Сулливаном. [50]
Некоторое множестйо вершин принадлежит симплексу, если все они содержатся в одном и том же множестве Ah. Предоставляем читателю проверить, что здесь выполнены все аксиомы симплициального комплекса. [51]