Cтраница 3
Случай близких гипотез при фиксированных аир, как уже отмечалось выше, эквивалентен случаю больших выборок ( большое п), что в свою очередь приводит к асимптотической нормальности логарифма коэффициента правдоподобия в силу центральной предельной теоремы. [31]
Выяснение условий, при которых действует эту закономерность, составляет заслугу выдающихся русских ученых академиков А. А. Маркова ( 1856 - 1922) и, в особенности, Л. М. Ляпунова ( 1857 - 1918), установивших так называемую центральную предельную теорему, утверждающую для очень широкого класса независимых величин асимптотическую нормальность их суммы. [32]
Любая последовательность случайных величин, слабо сходящаяся к некоторой гауссовской СВ, называется асимптотически нормальной. Центральная предельная теорема устанавливает свойство асимптотической нормальности для последовательности центрированных и нормированных сумм произвольных независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих конечные дисперсии. [33]
Иначе говоря, мы утверждаем только то, что форма параболы и получающиеся доверительные интервалы полностью определяются значением второй производной в максимуме. Параболический вид логарифмической функции правдоподобия, конечно, обеспечивается асимптотической нормальностью распределения. Следующее свойство представляет общетеоретический интерес. [34]
Однако точное определение доверительных интервалов для моментов оказывается трудной задачей. Для приближенного определения доверительных интервалов при большом числе опытов обычно пользуются асимптотической нормальностью оценок моментов. На основании центральной предельной теоремы ( § 5.4) распределение оценки момента любого порядка как суммы независимых случайных величин при достаточно большом числе опытов как угодно мало отличается от нормального. [35]
Необходимо определить такое число реализаций / V, чтобы эта ошибка при заданной достоверности 3 не превышала заданные пределы. Согласно центральной предельной теореме, при большом значении Л / имеет место асимптотическая нормальность среднего значения и частоты событий. [36]
A / ( m9 ( i) 7t ( i)), т.е. имеет место асимптотическая нормальность решения устойчивого линейного стохастического дифференциального уравнения. [37]
Асимптотическая нормальность играет большую роль в теории и практике. Она позволяет заменять сложные и часто неопределенные распределения случайных величин хорошо изученным нормальным распределением. Основным аппаратом доказательства асимптотической нормальности является аппарат характеристических функций. [38]
Таким образом, мы должны еще рассмотреть лишь случай, когда оба отношения g / h и h / g не превосходят М и при этом п g - h безгранично возрастает. В этом случае теорема об асимптотической нормальности также справедлива, но доказывается она много тяжелее. [39]
На основании результатов, полученных для математических ожиданий, состоятельной несмещенной оценкой момента любого порядка служит среднее арифметическое значение соответствующей степени случайной величины. Однако точное определение доверительных интервалов для моментов оказывается трудной задачей. Для приближенного определения доверительных интервалов при большом числе опытов обычно пользуются асимптотической нормальностью оценок моментов. [40]
Как ведет себя эта дробь при п - оо. Остается один случай: р - 0, nt ограничено. Если nt ограничено, р - оо, но р о ( У п), то дробь также стремится к нулю. Наконец, при ограниченном п и р, растущем как У п, асимптотическая нормальность нарушается. В этом случае единственное грубое измерение искажает нормальность распределения. Поскольку Вп имеет порядок Уп, то видим, что нарушается условие Линдеберга: существует отдельное слагаемое, вносящее существенный вклад в дисперсию суммы. [41]