Cтраница 3
В таком измерительном органе выходная величина - обязательно функция двух вещественных аргументов ( или одного комплексного), и зона функционирования отображается уже областью комплексной плоскости. Известны также измерительные органы и с несколькими входными величинами, характеристики которых однозначно в плоскости изображены быть не могут. [31]
Может случиться, что пространство Ф таково, что компоненты всех векторов еФ по непрерывному базису 1, ф ( х) xl f / y, являются граничными значениями аналитических функций ( z) на комплексной плоскости или на области комплексной плоскости, например на нижней полуплоскости. [32]
Задана область D комплексной плоскости и заданы два множества А, В, принадлежащие замыканию D: Ac BcD. На множестве А задана аналитич. Требуется определить функцию / ( z) на множестве В. Относительно функции / ( z), кроме регулярности в D, может быть задана дополнительная информация, напр. [33]
При отрицательных значениях у ш автоматически получаются симметрично расположенные группы нулей и полюсов, зеркальная группа, а также и другая полоса пропускания. Так как благодаря симметрии эта область комплексной плоскости не содержит дополнительной информации, ее нет надобности рассматривать детально. [34]
Выбирая различные точки ZQ, можно получить для одной и той же функции сколько угодно различных рядов Тейлора. В теории аналитических функций доказывается, что область комплексной плоскости, в которой ряд Тейлора сходится, представляет собой внутренность круга с центром в точке ZQ. Этот круг называется кругом сходимости. [35]
Функция / ( z), регулярная или мероморфная в области D комплексной плоскости г, наз. [36]
Функция / ( г), регулярная или мероморфная в области D комплексной плоскости z, наз. [37]
При дополнительном предположении, что j ( щ) ФО, верно и обратное. Отображение w - f ( z) является конформным в области D конечной комплексной плоскости С тогда и только тогда, когда функция / ( z) является аналитической в D и / ( z) 0 в D. D отлична от нуля. [38]
Следует отметить, что большая часть положений теории функций комплексной переменной переносится без существенных изменений на случай голоморфных вектор-функций и операторнознач-ных функций. Операторнозначная функция А ( г) называется голоморфной ( регулярной или аналитической) в области D комплексной плоскости, если оня дифференцируема по норме в этой области. [39]
Характерной чертой аппроксимации Паде является то, что это рациональная функция. Поэтому если существует предел последовательности аппроксимаций Паде, то этот предел должен быть мероморфной ( или даже голоморфной) функцией в некоторой области комплексной плоскости. Естественно ожидать, что полюсы и вычеты аппроксимаций Паде стремятся к соответствующим характеристикам предельной функции. Однако, так как величина аппроксимации Паде в окрестности полюса предельной функции становится как угодно большой, сходимость в обычном смысле в окрестности полюса невозможна. Простейший технический прием, позволяющий преодолеть это затруднение, состоит в использовании сферической метрики. Обычная сходимость заменяется на сходимость на сфере. [40]
Как при построении общей теории функций комплексной переменной, так и в ее многочисленных приложениях, в частности к решению задач механики и физики, большое значение имеет изучение геометрических свойств конформных отображений, осуществляемых аналитическими функциями. Фундаментальной задачей теории конформных отображений является следующая. Даны две области комплексной плоскости, и требуется найти функцию, осуществляющую взаимно однозначное и конформное отображение одной области на другую. При этом, конечно, возникают вопросы об условиях существования и однозначного определения такой функции. [41]
Это прежде всего класс Штейна пространств, к-рый можно грубо охарактеризовать как класс пространств, обладающих достаточно большим запасом глобальных голоморфных функций. Пространства Штейна являются наиболее естественным многомерным обобщением областей комплексной плоскости, рассматриваемых в классич. Этот класс пространств по существу совпадает с классом аналитич. [42]
Метод бисекции опирается на то, что непрерывная функция, меняющая знак в интервале, имеет нуль внутри этого интервала. Эту идею нелегко обобщить для локализации комплексных нулей аналитических функций. Одна родственная идея - это принцип аргумента: предположим, что / аналитична в области R комплексной плоскости, и пусть С - простая замкнутая кривая в R. Предположим, что когда z описывает контур С, f ( z) ровно один раз обходит начало координат. Тогда / имеет ровно один нуль внутри С. [43]
Будем предполагать, что функция f ( x) имеет аналитический характер в интервале [ О, 1 ] и в некоторой области комплексной плоскости, охватывающей этот интервал. Это дает возможность ограничить все исследования только специальной функцией ( za - x) -, где г есть некоторая фиксированная точка комплексной плоскости. Если мы сможем показать, что-наш квадратурный метод сходится для этой частной функции при условии, что 20 лежит вне некоторой вполне определенной области комплексной плоскости, то сходимость обеспечена для любой аналитической функции f ( z), которая остается регулярной внутри и на границе этой области. [44]
Будем предполагать, что функция f ( x) имеет аналитический характер в интервале [ О, 1 ] и в некоторой области комплексной плоскости, охватывающей этот интервал. Это дает возможность ограничить все исследования только специальной функцией ( za - х) -, где za есть некоторая фиксированная точка комплексной плоскости. Если мы сможем показать, что - наш квадратурный метод сходится для этой частной функции при условии, что гп лежит вне некоторой вполне определенной области комплексной плоскости, то сходимость обеспечена для любой аналитической функции f ( z), которая остается регулярной внутри и на границе этой области. [45]