Cтраница 2
ТЕОРЕМА 5.2. Область целостности R является 2 - Р1 - кольцом в том и только том случае, когда для любого с 0 главные правые идеалы, содержащие элемент с, образуют подрешетку L ( cR, R) решетки LaiR ( R) всех правых идеалов этого кольца. Следовательно, в 2 - Р1 - кольце решетка L ( cR, R) модулярна. [16]
ТЕОРЕМА 4.6. Область целостности R является жесткой в том и только том случае, когда R-локальное 2 - Р1 - кольцо. [17]
Каждый элемент области целостности К обладает разложениями вида а - ае е 1, где е - какой-либо делитель единицы. Эти разложения называются тривиальными. Если никаких других разложений у а нет, то а называется простым или неразложимым элементом К. В связи с важным значением теоремы об однозначном разложении целых чисел на простые множители представляет интерес нахождение таких классов колец, в том числе и некоммутативных, в которых остается справедливой аналогичная теорема. [18]
В случае области целостности, сравнивая условия ( а) и ф) из теоремы 3.2, мы получаем следующий полезный результат. [19]
G называется областью целостности. [20]
Пусть R - область целостности и я, у - ее линейно независимые слева элементы. [21]
Пусть R - область целостности, не являющаяся левым кольцом Оре. R формулами: я / ( е /) б / у, nJ ( fi) baJ - i1 где ar Q для всех г О и яу - проекция R на / - е слагаемое. [22]
Если R - область целостности, то любой ненулевой идеал, являющийся главным левым и главным правым идеалом, обладает инвариантным порождающим. [23]
Пусть А - область целостности и В - такое подкольцо, что А порождается В и некоторым конечным числом элементов. В в алгебраически замкнутое поле К и не переводящий и в нуль, может быть продолжен до гомоморфизма g, отображающего А в К и не переводящего v в нуль. [24]
Пусть А - область целостности, не являющаяся полем. Обозначим через F поле частных кольца А. Рассмотрим F как Л - модуль. Доказать, что EA ( FA) F, но модуль FA не является простым. [25]
Я) переводит области целостности в Q ( H) в области целостности. [26]
Если А - область целостности, то кольцо А [ х полиномов от одной переменной есть также область целостности. [27]
Пусть k - область целостности, а G - локально индексабельная группа. [28]
АТОМАРНОЕ КОЛЬЦО - область целостности с единицей, удовлетворяющая условию максимальности для главных идеалов. [29]
Любая нетерова справа область целостности является правым кольцом Оре. [30]