Cтраница 2
Покажем, что векторы, отвечающие базисным столбцам матрицы А-пусть для определенности первые г ее столбцов являются базисными - образуют базис этой линейной оболочки. Проверим сначала первое из этих, утверждений. Но тогда в силу теоремы 1.96 любой определитель r - го порядка, построенный на этих столбцах и каких-нибудь г строках матрицы Л, был бы равен нулю. В частности, был бы равен нулю базисный минор матрицы А, что противоречит его определению. Таким образом, первое утверждение доказано. Второе утверждение мы фактически доказали в 1.93; сформулированное там для столбцов матрицы Л, оно составило содержание теоремы о базисном миноре. [16]
Знак равенства в ( 41) имеет место в том и только в том случае, когда векторы попарно ортогональны. Считается при этом, что ни один из векторов не есть нулевой вектор. Доказанное неравенство легко приводит к оценке любого определителя. [17]
Знак равенства в ( 41) имеет место в том и только в том случае, когда векторы попарно ортогональны. Считается при этом, что ни один из векторов не есть нулевой вектор. Доказанное неравенство легко приводит к оценке любого определителя. [18]
Так как по условию ранг А k, то существует не равный нулю определитель / г-го порядка, порождаемый матрицей А, следовательно и матрицей В. Остается доказать, что всякий определитель ( k 1) - го порядка, порождаемый матрицей В, равен нулю. Таким образом, нужно доказать, что любой определитель ( k 1) - го порядка, порождаемый матрицей В и содержащей в себе столбец из чисел г / у равен нулю. [19]
Нам надо доказать, что ранг В / г. Так как по условию ранг А k, то существует не равный нулю определитель k - ro порядка, порождаемый матрицей А, следовательно и матрицей В. Остается доказать, что всякий определитель ( k 1) - го порядка, порождаемый матрицей В, равен нулю. Таким образом, нужно доказать, что любой определитель k - -) - го порядка, порождаемый матрицей В и содержащий а себе столбец из чисел у /, равен нулю. [20]