Cтраница 2
Когда мой двоюродный дядя Леон Лихтенштейн умер - в какой-то степени его смерть была связана с приходом Гитлера к власти, - новые руководители немецкой науки начали подыскивать ему замену. В то время большинство хороших математиков уезжало из Германии и разрешить эту проблему было не так просто. [16]
Дчя Галыопа и шя большинства математиков нормальное распредетеине - претелыюе наложение порядка па беспорядок. [17]
Логическая строгость оказывает сдерживающее воздействие, неоценимое в опасных обстоятельствах, а также тогда, когда речь идет о тонкостях. Существуют теоремы, в справедливости которых убеждены большинство математиков, и тем не менее, пока их кто-нибудь не докажет, они останутся необоснованными предположениями и могут применяться только в роли предположений. [18]
Образование и интересы у математиков и биохимиков весьма различны. Большинство биохимиков, например, вряд ли хорошо владеет школьным курсом алгебры, а большинству математиков, вероятно, не известны структурные и функциональные различия между белками и нуклеиновыми кислотами. Между этими дисциплинами существует лишь слабая связь, но можно надеяться, что со временем она будет крепнуть. [19]
Сараса почти сразу же) добавляет, что, стало быть, площади / ( а, Ь) могут заменять логарифмы. То, что он ничего больше не говорит о логарифмах, а сам Сен-Винсепт их вовсе не упоминает, может объясняться тем, что большинство математиков той эпохи относило логарифмы к вспомогательным средствам счета без права на место в математике. [20]
Знаменитая брошюра Дедекинда Чем являются и чем должны быть числа. То, что может быть доказано, не должно принимать в науке на веру, Это высказывание, конечно, характерно для образа мышления большинства математиков, и тем не менее оно как принцип несостоятельно. Вряд ли та цепочка опосредованных рассуждений, которую мы называем доказательством, способна порождать какую бы то ни было веру без того, чтобы мы не удостоверились путем непосредственного усмотрения в правильности каждого отдельного шага. Тот же, кто подходит к другим наукам, например к философии, как математик, требуя дефиниций и дедукций в математическом стиле, поступает ничуть не умнее зоолога, который стал бы отвергать числа на том основании, что они не являются живыми существами. [21]
Непризнанные теории, конечно, будут всегда существовать, однако, я думаю - и это есть источник некоторого оптимизма во мне - что всякая непризнанная теория только сравнительно короткое время может оставаться непризнанной, если она, действительно, значительная и хорошая математически. Другими словами, значительность всякого значительного математического открытия, если не сразу, то через немного десятилетий делается действительно очевидной всем или, во всяком случае, достаточному большинству математиков. И никакого другого критерия, мне кажется, все-таки, нет. Это те, повторяю, совсем немногие результаты, от которых он ощутил подлинную, большую и чистую радость соприкосновения с истиной, радость, называемую творчеством и качественно тождественную с радостью, которую человеку дает любовь: в обоих случаях человек чувствует, что делает то, ради чего он и существует на земле. Эту же самую радость человек может испытывать при самых разных обстоятельствах - всякий человек, когда он имеет ясное, уверенное, и, в то же время, скромное сознание ( эти три свойства обыкновенно совмещаются), что он делает то, что ему надлежит делать. [22]
В настоящее время применение гомологии к задачам аналитичности амплитуд рассеяния находится еще на начальной стадии. Медленные темпы развития этой важной ветви математической физики объясняются, возможно, во-первых, тем, что указанная математическая техника является новой и необычной для большинства физиков, и, во-вторых, тем, что соответствующие физические проблемы неизвестны и неинтересны большинству математиков. Чтобы как-то изменить сложившуюся ситуацию, и была написана настоящая монография. [23]
Теперь понятие разностное отношение не употребляется. В современной математике выражения вида а: Ь тоже очень редко называют отношениями. Термин отношение теперь большинство математиков употребляют для обозначения какой-либо связи между предметами или понятиями. Отношение р в некотором множестве называется рефлексивным, если для любого элемента х из этого множества хрх; симметричным, если из хру следует урх; транзитивным, если из хру и ург следует хрг. Отношение, являющееся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным, называется отношением эквивалентности. Такими, в частности, есть отношения равенства во множестве чисел, эквивалентности во множестве уравнений, подобия во множестве фигур и др. Нерефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка. [24]
Почему такие доказательства большинству математиков не представляются сомнительными. На этот вопрос проливают свет работы Б о ч в а р а и Н о в и-к о в а, посвященные проблеме парадоксов математической логики и теории множеств. [25]
В 1995 году, когда в результате проверки в доказательстве была найдена ошибка, он предложил исправленный вариант доказательства. Сейчас этот вариант принят большинством математиков. [26]
Раскол между чистой и прикладной математикой произошел относительно недавно. Если современная математика прослеживается, скажем, на 1600 лет назад, то в течение 250 лет не было четкого и ясного различия между чистой и прикладной математикой. Действительно, отличие показалось бы ошибочным для большинства первых математиков, которые представляли математику как орудие исследования божественного порядка в природе. [27]
Итак, задача должна быть совершенно конкретная и классическая - интеграция дифференциальных уравнений. Впрочем, последний факт мы обнаружили в сочинениях большинства математиков XIX века - у Клейна, у Пуанкаре, у Пикара и даже позднее у Гильберта. Время теорий функций вообще, как она расцвела, например, в монографиях коллекции Бореля, тогда еще не пришло. [28]
Сама математика, занимаясь переменными величинами, вступает в диалектическую область, и характерно, что именно диалектический философ, Декарт, внес в нее этот прогресс. Как математика переменных величин относится к математике постоянных величин, так вообще диалектическое мышление относится к метафизическому. Это нисколько не мешает, однако, тому, чтобы большинство математиков признавало диалектику только в области математики, а довольно многим среди них не мешает в дальнейшем оперировать всецело на старый ограниченный метафизический лад теми методами, которые были добыты диалектическим путем. [29]
Сама математика, занимаясь переменными величинами, вступает в диалектическую область, и характерно, что именно диалектический философ, Декарт, внес в нее этот прогресс. Как математика переменных величин относится к математике постоянных величин, так вообще диалектическое мышление относится к метафизическому. Это нисколько не мешает, однако, тому, чтобы большинство математиков признавало диалектику только в области математики, а довольно многим среди них не мешает в дальнейшем оперировать всецело на старый ограниченный метафизический лад теми методами, которые были добыты диалектическим путем. [30]