Cтраница 3
Определение искусственного интеллекта, естественно, зависит от того, какая деятельность считается интеллектуальной. Интеллектуальность можно определить лишь относительно степени непонимания задачи наблюдателем. Когда метод решения ясен до конца, излишне приписывать ему такое мистическое свойство, как интеллектуальность. Большинство математиков испытывает нечто подобное в отношении к математическим результатам: трудно сохранить ощущение того, что теорема глубокая, когда ее доказательство до конца понято. Вместе с пониманием приходит и ощущение потери. [31]
Что бы ни представляло собой исследование операций, любая работа в этой области всегда приводит к пониманию важности методов математического моделирования. Во многих случаях он умеет даже решать те уравнения, которые сам составляет. Однако некоторые специалисты по анализу операций плохо ориентируются в прикладной математике, а большинство математиков - плохие специалисты в области исследования операций. [32]
Аналитическая геометрия сыграла важную роль в развитии понятия числа: благодаря правилу выбора знаков координат отрицательные числа ( которые не признавало большинство математиков средневековья) получили наглядное изображение и окончательно утвердились в математике. [33]
Ферма были введены правила выбора знаков в прямоугольной системе координат и заложены основы аналитической геометрии на плоскости - раздела математики, устанавливающего связь между алгеброй и геометрией. Аналитическая геометрия сыграла важную роль в развитии понятия числа: благодаря правилу выбора знаков координат отрицательные числа, которые не признавало большинство математиков средневековья, получили наглядное изображение и окончательно утвердились в математике. [34]
Уотсона в Йорктаун-Хайтсе, штат Нью-Йорк. Подобно Станиславу У ламу и многим другим выдающимся польским математикам, Мандельброт с успехом работал и в чистой, и в прикладной математике, главным образом в области физики и экономики. Его учитель, французский математик Поль-Пьер Леви, был первым, кто предпринял систематическое исследование статистически самоподобных кривых, но в то время большинство математиков рассматривали их как бесполезные причудливые курьезы, и только Мандельброт понял, что самоподобные объекты являются основным инструментом для анализа множества самых различных физических явлений. [35]
Следующим поворотным событием в моей жизни стало совершенное мной значительное математическое открытие. Оно относится к закону распределения собственных частот колебаний непрерывно протяженной среды - мембраны, упругого тела или электромагнитного эфира. Идея была из числа тех, которые приходят в голову всякому, кто в юности занимался наукой; однако идея эта в отличие от большинства других не лопнула, подобно мыльному пузырю, а, как показала короткая проверка, вела к цели. Я сам был крайне удивлен, так как не ожидал от себя ничего подобного. К тому же, хотя этот результат был давно предугадан физиками, большинство математиков считало его доказательство делом далекого будущего. Пока я лихорадочно проводил доказательство, моя керосиновая лампа начала коптить, и к тому моменту, когда мне удалось благополучно довести все до конца, бумага, руки и лицо покрылись хлопьями сажи. [36]
Если при описании какой-либо аксиоматической теории используемая система логических правил предполагается уже известной, мы будем говорить, что эта теория есть неформальная ( содержательная) теория. В математической практике аксиоматические теории обычно описываются в виде неформальных теорий; что же касается предполагаемой при этом логики, то обычно считается, что это та интуитивная логика, которая усваивается в ходе изучения математики. Сказанное отнюдь не имеет характер порочного круга, как это может показаться вначале. Более того, можно привести многочисленные доводы в защиту мнения, согласно которому точное определение логической правильности, выдвигаемое символической логикой, хорошо согласуется с тем интуитивным представлением о строгости рассуждений, которым пользуются математики. Многочисленные примеры, подтверждающие тот тезис, что логические принципы, считающиеся строгими большинством математиков, принимаются в качестве таковых в символической логике ( и наоборот), собраны в книге Дж. На наш взгляд, не будет преувеличением сказать, что в глазах подавляющего большинства математиков современная символическая логика есть попросту формализация того интуитивного способа рассуждений, которого они фактически всегда придерживаются. Это мнение, правда, не выглядит столь убедительным по отношению к тем математикам, которые проводят формальные доказательства и используют для проверки их правильности формальные процедуры исчисления предикатов. Однако и для таких математиков проверка доказательств формальными, механическими методами играет скорее роль некоторой страховки в сложной цепи рассуждений, дополняющей в сложных случаях содержательные методы рассуждений, но не подменяющей их. [37]
Аналитическая геометрия сыграла важную роль в развитии понятия числа: благодаря правилу выбора знаков координат отрицательные числа, которые не признавало большинство математиков средневековья получили наглядное изображение и окончательно утвердились в математике. [38]
При описании формальной аксиоматической теории нам приходится решать проблему точного выявления используемой в ней логической системы. Один из очевидных путей ее решения состоит в задании определенных правил вывода. Во всех представляющих интерес системах множество правил бесконечно, и возникает проблема, каким образом описать это множество, чтобы можно было определить, относится ли любое конкретное правило к этому множеству. Решение этой проблемы, которого мы будем придерживаться, состоит в том, что выделяется конечное число правил вывода, к которым присоединяются логические аксиомы данной аксиоматической теории, из которых затем уже можно получить теоремы, выражающие дальнейшие логические принципы. Иначе говоря, решение это означает объединение аксиоматизированной системы логики с данной аксиоматической теорией, в результате чего и получается формальная аксиоматическая теория. Из логических систем, которые могут быть использованы для этой цели, мы остановим свой выбор на узком исчислении предикатов. Основанием - для такого выбора служит то обстоятельство, что в исчислении предикатов получает свое формальное выражение большая часть логических принципов, принимаемых большинством математиков, и что это исчисление дает все логические средства, необходимые для построения многих математических теорий. [39]
Как ни странно, они могут быть смоделированы довольно простым способом. Тем не менее, фрактальная математика часто кажется алогичной и неточной. Она кажется алогичной потому, что всех нас, даже не математиков, учили думать по Евклиду. То есть мы приближаем естественные объекты к простым формам, таким как детские рисунки сосен. Детали добавляются позднее, независимо от главной формы. Фрактальная математика кажется неточной, потому что традиционные математические доказательства трудно находить и развивать: наше понятие доказательства происходит, снова, из древнегреческой геометрии. Фрактальная геометрия имеет свою долю доказательств, но наш основной метод для исследования фракталов - это метод, основанный на численных экспериментах. Такая экспериментальная форма исследования математики является новой и еще пока не заслужила уважения большинства чистых математиков. [40]