Cтраница 3
По существу, необходимо иметь в виду, что строгие математические понятия представляют собой далеко идущую идеализацию возникающих интуитивно представлений. Поэтому вопросы полного обоснования математики не могут решаться путем ссылки на наивную интуицию. [31]
В некоторых случаях для формулировки задачи оптимизации приходится рассматривать более абстрактные математические понятия - функциональные, или бесконечномерные, пространства ( точками таких пространств являются функции, а не наборы чисел) и в качестве критерия оптимизации - функционалы, заданные на подмножествах этих пространств. Каждую такую бесконечномерную задачу оптимизации можно аппроксимировать с любой наперед заданной точностью конечномерной задачей, рассмотренной выше, и с точки зрения непосредственно практических приложений достаточно было бы ограничиться именно конечномерными задачами. Однако теоретическая ценность перехода к бесконечномерным пространствам для целого ряда случаев не вызывает сомнений. [32]
Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению, необходимо ввести два простых математических понятия, а именно производные скалярной функции по векторному и тензорному аргументам. [33]
В частности, в этой главе обсуждаются в рамках теории множеств три важных математических понятия: функция, отношение эквивалентности и отношение порядка. Параграфы 1.3 - 1.6 содержат необходимые предварительные сведения; в § § 1.1 - 1.2 описывается наша исходная точка зрения на теорию Кантора. [34]
Такие функции могут быть рассмотрены в рамках математики таким же образом, как любые другие математические понятия, уже нам знакомые, например выводимая формула, правила получения выводимых формул и те или иные соответствия, которые мы уже раньше рассматривали для символов исчислений. [35]
В дальнейшем в этом параграфе ( а также и во всей книге) понятия рассматриваются только как математические понятия. Как объяснено в § 2, соответствующие физические понятия иногда чрезвычайно сложны; мы не можем рассуждать о них с точностью, удовлетворяющей современным требованиям. Для этих физических понятий читатель может составить свой собственный трехстолбцовый словарь ( см. § 2) - если требуемого понятия не окажется в третьем столбце, его нужно позаимствовать из других источников информации. [36]
Форбс с сочувствием и любовью наблюдает за своим младшим другом Клерком Максвеллом, он старается, чтобы физические и математические понятия обретали для его учеников реальность, жизненность. [37]
Мы с самого начала подчеркивали важную роль понятий в современной математике, а также тот факт, что многие математические понятия первоначально возникли в вариационном исчислении. Часто задают вопрос: А на что, собственно, человеку дела могут пригодиться понятия. Если оставить этот вопрос без ответа, можно создать у читателя психологический барьер, который серьезно усугуб - ( пяет трудности, связанные с изучением нового. Поэтому мы коротко ответим на hero, прежде чем перейти к рассмотрению тех конкретных понятий, которые нам понадобятся на данном этапе. [38]
В прагматическом методе абстрагирования семантику данных и операций описывают путем явного определения множества данных Dt и операций f, используя математические понятия, семантика которых считается заданной. Для этого используются либо известные, либо гипотетические языки программирования, а также такие математические понятия, как функции и множества, абстрактные механизмы типа автоматов. Ниже на примере стека рассматривается метод абстрагирования данных с использованием языка программирования. [39]
Это противоречие означает, что мы оказались за пределами возможности использования известного нам математического аппарата, что необходимо ввести какие-то новые математические понятия. [40]
Следует сразу заметить, что погонные и сосредоточенные силы как таковые в природе не существуют, поскольку их определения включают абстрактные математические понятия линии и точки. Эти нагрузки являются удобными для расчета моделями реальных локальных поверхностных сил, приложенных соответственно по сильно вытянутым в одном направлении узким полоскам поверхности или по малым по сравнению с поверхностью площадкам. Правомочность таких моделей и область их применения мы обсудим в гл. [41]
Мы старались написать этот учебник так, чтобы при его чтении как можно реже нужно было обращаться к пособиям по математике - математические понятия и приемы, которые выходят за рамки стандартного курса, объясняются в тех местах, где изложение материала требует обращения к высшей математике. Конечно, мы предполагаем у нашего студента знание школьного курса математики, он должен также уметь дифференцировать и интегрировать простейшие математические выражения, владеть экспоненциальной формой записи комплексных чисел и уметь решать простые дифференциальные уравнения. [42]
Мы способны познавать только конечное, изменчивое, преходящее, только по степени различное и относительное, так как мы можем лишь переносить математические понятия на вещи природы и судить о последних лишь по тем меркам, которые сняты с них самих. [43]
Мы способны познавать только конечное, изменчивое, преходящее, только по степени различное и относительное, так как мы можем лишь переносить математические понятия на вещи природы п судить о последних лишь по тем меркам, которые сняты с них самих. [44]
Мы способны познавать только конечное, изменчивое, преходящее, только по степени различное и относительное, так как мы можем лишь переносить математические понятия на вещи природы и судить о последних лишь по тем меркам, которые сняты с них самих. [45]