Cтраница 3
Как показал А. П. Котельников [57], сложное пространственное перемещение тела, определяемое шестью параметрами, может быть отображено одним комплексным вектором специального вида - бивектором или винтом. Оперирование такими объектами приводит к значительному упрощению промежуточных операций при решении задач, связанных со сложным пространственным движением тел, поскольку на бивекторы и винты в соответствии с принципом перенесения А. П. Котельникова могут быть распространены все правила векторного исчисления. [31]
В данной монографии приведен ряд примеров эффективного, по мнению автора, применения винтового исчисления в задачах механики твердого тела и теории механизмов. Наряду с этим, изложены общие вопросы построения винтового исчисления, в том числе винтового анализа как обобщения векторного анализа, а также вопросы, связанные с границами применимости принципа перенесения. Общие вопросы рассмотрены в I-IV главах. [32]
В работе [64], в небольшой исторической справке, очевидно, вызванной появлением ряда работ по применению комплексных чисел в теории винтов, Штуди подчеркивает свои результаты по этому вопросу. Работа Котельникова стала известна Штуди только по ее краткому реферату в Fortschritte der Mathematik за 1896 г., поэтому он не мог дать ей оценки и отметить факт формулировки Котель-никовым принципа перенесения. Соссюра подвергается критике, ввиду того, что, по мнению Штуди, этим автором применены некоторые символы, лишенные смысла. [33]
В VI главе дана дифференциальная геометрия линейчатой поверхности. Ее изложение не является самоцелью, а служит введением в кинематику твердого тела, которая относится к мгновенным и непрерывным движениям. Здесь отчетливо выявляется принцип перенесения, сказывающийся в полной аналогии между формулами дифференциальной геометрии кривой на сфере единичного радиуса и формулами дифференциальной геометрии линейчатой поверхности, если перейти от вещественных величин к комплексным. [34]
В IX главе дано решение некоторых задач динамики твердого тела. Здесь выведено винтовое уравнение динамики и показаны примеры его применения. В задачах динамики принцип перенесения не действует, поэтому уравнение разделяется на отдельные векторные уравнения. В некоторых задачах, когда момент количества движения тела сохраняет постоянное нулевое значение, оказывается возможным отделение динамической части задачи и сведение ее к чисто кинематической. В других случаях она решается с помощью задания винта шестью плюккеровыми координатами. [35]
В 1895 г. опубликовано выдающееся сочинение А. П. Котель-никова [27], в котором впервые построено собственно винтовое исчисление. В этой работе использованы комплексные числа с множителем со, введенным Клиффордом, умножением на которые вектор преобразуется в винт. Главная заслуга Котельникова состоит в том, что он впервые в наиболее полном и ясном виде сформулировал принцип перенесения. Это, в свою очередь, привело к выводу, что все операции векторного исчисления превращаются в операции винтового исчисления, если в них все вещественные величины заменить комплексными с множителем со. Благодаря этому удалось одним уравнением заменить не три, как в векторном исчислении, а шесть скалярных уравнений, что придает большую компактность записи условий и решению многих задач. [36]
В качестве второй аксиомы он излагает закон независимости единовременного действия сил. Третьей аксиомой в рассматриваемом курсе принимается правило параллелограмма сил, причем установлению этого правила предшествует сложение двух сил, действующих по одной прямой. После четвертой аксиомы об абсолютно твердом теле следует теорема о переносе силы вдоль линии ее действия, называемая Котель-никовым принципом перенесения точки приложения силы. Вслед за изложением четырех аксиом помещены элементы векторной алгебры. Выражение проекции вектора на ось в книге дано не как определение, а как теорема. Следующие параграфы посвящены вопросу о сложении сил, приложенных в точке; изложение сопровождается рассмотрением задач. [37]
В общем случае перемещений твердого тела винтовые перемещения истолковываются как повороты на комплексные углы. Приведенные формулы (5.1), (5.2), (5.9) и (5.10) следует рассматривать как формулы с комплексными величинами. Предположим, что входящие в них углы конечного поворота комплексные, единичные векторы - единичные винты фиксированных в пространстве осей, а модули векторов - комплексные. Тогда согласно принципу перенесения изложенная теория конечных поворотов превращается в теорию конечных винтовых перемещений тела. Теоремы сохраняют силу с той поправкой, что в новом толковании, во-первых, телу сообщаются винтовые перемещения относительно осей, произвольно расположенных в пространстве, а во-вторых, определяются начальное и конечное положения не радиуса-вектора точки, а винта, лежащего на прямой, принадлежащей телу. [38]
Принцип перенесения в теории комплексных векторов имеет большое прикладное значение. При решении задач кинематики твердого тела с неподвижной точкой угловые скорости изображают векторами, проходящими через одну точку, и применяется алгебра свободных векторов. Если требуется решить задачу о движении свободного твердого тела, то в формулах для соответствующего сферического движения вместо векторов угловых скоростей используются винты скоростей, а вместо углов между векторами - комплексные углы между осями винтов; формулы кинематики свободного твердого тела получаются переписыванием формул кинематики тела с неподвижной точкой с заменой строчных букв прописными, а затем развертыванием их. Для всякой задачи кинематики произвольно движущегося тела можно сформулировать соответствующую задачу сферического движения, искусственно введя закрепленную точку; решение этой более простой задачи автоматически с помощью принципа перенесения приводит к решению основной задачи. [39]
Ми-зесом, опубликовавшим в 1924 г. две статьи [53, 54], в которых излагается общая часть и приложения моторного исчисления. В этой работе за исходный образ принята совокупность двух прямых ( мотор), эквивалентная винту, а затем введены шесть координат мотора и определены операции над моторами, выражаемые через координаты моторов, - скалярное и моторное умножение. Далее введены моторные диады и матрицы афинного преобразования. При этом обнаружена аналогия с векторными операциями. Однако принцип перенесения в работе Мизеса не был использован. [40]
Дифференциальное уравнение для главной части кинематического винта не является главной частью основного дифференциального уравнения, а наоборот, оказывается его моментной частью, ибо уравнение динамики - силовое уравнение. С другой стороны, главная часть уравнения содержит величины, зависящие от моментной части; следовательно, винтовое уравнение динамики не может быть получено из соответствующего векторного заменой векторов винтами. Это обстоятельство тесно связано с тем фактом, что операция умножения бинрра на винт, необходимая для составления винтового уравнения динамики, не является аналитической, поскольку в главной части оказываются величины, зависящие от моментной части аргумента. IV), является необходимым условием применимости принципа перенесения. [41]