Полюсный треугольник

Cтраница 3

Всякой прямой, проходящей через вершину полюсного треугольника, будет соответствовать на другой плоскости прямая, также проходящая через эту вершину, да еще противоположная сторона полюсного треугольника, все точки которой будут соответствовать одной и той же точке - взятой вершине. Всякой же прямой, не проходящей ни через одну вершину полюсного треугольника, будет соответствовать геометрическое место точек пересечения прямых, проходящих через вершины полюсного треугольника и построенных, как указано выше. В геометрии доказывается, что геометрическое место будет коническим сечением, проходящим через все три вершины полюсного треугольника. На этом основании соответствие называется квадратичным. Наоборот, точкам конического сечения, проходящего через вершины полюсного треугольника, соответствуют точки некоторой прямой. Среди таких конических сечений имеется одно особенное, именно круг, описанный вокруг полюсного треугольника; точкам этого круга должны соответствовать тоже точки некоторой прямой. [31]

Кроме того, на подвижной плоскости существует одна единственная точка, четыре положения которой лежат на одной прямой, именно - точка пересечения кругов, описанных вокруг четырех полюсных треугольников для каждой тройки положений из четырех данных; прямая, на которой лежат эти четыре положения найденной точки подвижной плоскости, есть прямая, проходящая через ортоцентры полюсных треугольников неподвижной плоскости, иначе говоря, эта точка подвижной плоскости соответствует бесконечно удаленной точке фокальной кривой на неподвижной плоскости. Аналогично мы найдем, что прямая, проходящая через ортоцентры полюсных треугольников подвижной плоскости, во всех четырех положениях проходит через одну и ту же точку неподвижной плоскости, именно - через общую точку пересечения кругов, описанных вокруг полюсных треугольников; иначе говоря, бесконечно удаленная точка фокальной кривой на подвижной плоскости соответствует определенной точке фокальной кривой неподвижной плоскости. [32]

Если необходимо сохранить какое-нибудь определенное направление поступательного движения, мы проводим прямую, параллельную этому направлению, через ортоцентр Я и находим точки пересечения этой прямой с окружностью, описанной вокруг полюсного треугольника. [33]

Это заключение имеет определенный кинематический смысл: для получения кривошипно-шатунного механизма по трем заданным положениям ползуна надо взять центр шарнира, соединяющего ползун с шатуном, на круге, описанном вокруг полюсного треугольника шатунной плоскости; если же мы возьмем на этом круге центры обоих шарниров на шатуне, то получим четырехзвенник с двумя ползунами. [34]

Тогда основная точка Si23 уходит в бесконечность по направлению, которое можно определить следующим образом: откладываем угол, образуемый прямой, соединяющей точку S0 с одним из полюсов, и стороной полюсного треугольника в противоположном направлении на другой стороне полюсного треугольника. [35]

Минимальный ра - [ IMAGE ] Зависимости между Rm-диус окружности, на кото - и /. гкривыми. [36]

Если для четырех положений подвижной плоскости надо найти точки, лежащие на окружностям заданного радиуса г, то для этого целесообразно построить кривую центров т, а для трех положений, например для полюсного треугольника 12 13 23, построить т-кривую, соответствующую значению г. Обе кривые пересекаются в точках, из которых либо все шесть являются вещественными, либо четыре вещественными, а две мнимыми, либо две вещественными и четыре мнимыми, либо все шесть мнимыми. [37]

Точно так же точки положения 2, для которых основные точки лежат на окружности, описанной вокруг полюсного треугольника, расположены на окружности, симметричной относительно полюсной прямой P 2Pn с окружностью, описанной вокруг полюсного треугольника. [38]

Окружность, выбранная в качестве кривой центров. [39]

Для каждой точки А 0 на окружности тл существует точка Alt которую найдем в пересечении лучей ЛР13 и A PW, образующих с прямыми А0Р12 и АиР13 углы сс21 и а23, равные соответствующим углам полюсного треугольника. Следовательно, точка А1 лежит на кривой круговых точек k, которая представляет собой также окружность, проходящую через полюсы Я12 и P1S с вписанным углом P iPia Т - Установим ряд соответственных точек обеих окружностей ( рис. 8): точкам пересечения 52 и 53 сторон 2 и 3 полюсного треугольника с окружностью тА соответствует в качестве круговой точки противолежащий полюс. [40]

Зависимости между полюсами, тремя гомологичными точками и центром Ло окружности. [41]

Пусть, далее, произвольная точка Ль соответствующая положению / подвижной плоскости, описывает траекторию, центр кривизны которой лежит в точке Л0; ее радиус кривизны Л0Л обозначим через г. Центром окружности, описанной вокруг полюсного треугольника, является точка М0; обозначим также прямые, соединяющие точку Л0 с полюсами, через ei2, ei3, баз, стороны полюсного треугольника - через аь 2, GS. [42]

Так как круг кривизны есть предельное положение круга, проходящего через три точки кривой при их сближении, то между точками шатунной плоскости и центрами кривизны траекторий этих точек на неподвижной плоскости существует квадратичное соответствие, представляющее предельный случай квадратичного соответствия на основе полюсного треугольника ( см. стр. POZ такой же угол а, о котором было сказано выше. Из этого мы заключаем, что предельным положением круга, описанного вокруг полюсного треугольника, будет также круг, именно - круг, касательный к прямой Т в точке Р; точки этого круга описывают траектории, центры кривизны которых в данном положении находятся в бесконечности. [44]

Так как в механизме с двумя ползунами все точки подвижной центроиды описывают прямые, проходящие через центр неподвижной центроиды, то и в рассматриваемом случае все прямые троек положений проходят через одну точку, которая, как нетрудно показать, будет ортоцентром Н ( точкой пересечения высот) полюсного треугольника и общей точкой пересечения кругов, описанных вокруг трех положений полюсного треугольника ( фиг. [45]

Страницы: 1 2 3 4 5