Полюсный треугольник
Cтраница 4
Кроме того, на подвижной плоскости существует одна единственная точка, четыре положения которой лежат на одной прямой, именно - точка пересечения кругов, описанных вокруг четырех полюсных треугольников для каждой тройки положений из четырех данных; прямая, на которой лежат эти четыре положения найденной точки подвижной плоскости, есть прямая, проходящая через ортоцентры полюсных треугольников неподвижной плоскости, иначе говоря, эта точка подвижной плоскости соответствует бесконечно удаленной точке фокальной кривой на неподвижной плоскости. Аналогично мы найдем, что прямая, проходящая через ортоцентры полюсных треугольников подвижной плоскости, во всех четырех положениях проходит через одну и ту же точку неподвижной плоскости, именно - через общую точку пересечения кругов, описанных вокруг полюсных треугольников; иначе говоря, бесконечно удаленная точка фокальной кривой на подвижной плоскости соответствует определенной точке фокальной кривой неподвижной плоскости. [46]
Так как в механизме с двумя ползунами все точки подвижной центроиды описывают прямые, проходящие через центр неподвижной центроиды, то и в рассматриваемом случае все прямые троек положений проходят через одну точку, которая, как нетрудно показать, будет ортоцентром Н ( точкой пересечения высот) полюсного треугольника и общей точкой пересечения кругов, описанных вокруг трех положений полюсного треугольника ( фиг. [47]
Пусть, далее, произвольная точка Ль соответствующая положению / подвижной плоскости, описывает траекторию, центр кривизны которой лежит в точке Л0; ее радиус кривизны Л0Л обозначим через г. Центром окружности, описанной вокруг полюсного треугольника, является точка М0; обозначим также прямые, соединяющие точку Л0 с полюсами, через ei2, ei3, баз, стороны полюсного треугольника - через аь 2, GS. [48]
Треугольник ВЬгЬг, изображающий план скоростей, подобен полюсному треугольнику АЬВ по условию взаимной перпендикулярности сторон. Этот полюсный треугольник представляет собой повернутый план аналогов скоростей. [49]
При повороте полюсного треугольника Р1гРпР вокруг Р12 на угол 612 точка Р13 придет в положение Р у а потому прямая Р12М, образующая с PlzPis угол ъ ( фиг. [50]
Всякой прямой, проходящей через вершину полюсного треугольника, будет соответствовать на другой плоскости прямая, также проходящая через эту вершину, да еще противоположная сторона полюсного треугольника, все точки которой будут соответствовать одной и той же точке - взятой вершине. Всякой же прямой, не проходящей ни через одну вершину полюсного треугольника, будет соответствовать геометрическое место точек пересечения прямых, проходящих через вершины полюсного треугольника и построенных, как указано выше. В геометрии доказывается, что геометрическое место будет коническим сечением, проходящим через все три вершины полюсного треугольника. На этом основании соответствие называется квадратичным. Наоборот, точкам конического сечения, проходящего через вершины полюсного треугольника, соответствуют точки некоторой прямой. Среди таких конических сечений имеется одно особенное, именно круг, описанный вокруг полюсного треугольника; точкам этого круга должны соответствовать тоже точки некоторой прямой. [51]
Кроме того, на подвижной плоскости существует одна единственная точка, четыре положения которой лежат на одной прямой, именно - точка пересечения кругов, описанных вокруг четырех полюсных треугольников для каждой тройки положений из четырех данных; прямая, на которой лежат эти четыре положения найденной точки подвижной плоскости, есть прямая, проходящая через ортоцентры полюсных треугольников неподвижной плоскости, иначе говоря, эта точка подвижной плоскости соответствует бесконечно удаленной точке фокальной кривой на неподвижной плоскости. Аналогично мы найдем, что прямая, проходящая через ортоцентры полюсных треугольников подвижной плоскости, во всех четырех положениях проходит через одну и ту же точку неподвижной плоскости, именно - через общую точку пересечения кругов, описанных вокруг полюсных треугольников; иначе говоря, бесконечно удаленная точка фокальной кривой на подвижной плоскости соответствует определенной точке фокальной кривой неподвижной плоскости. [52]
 |
Четыре положения подвижной плоскости и шесть полюсов. [53] |
Прямую, проходящую через ортоцентр, можно выбрать произвольно; этим определится то направление, по которому точка D0 уходит в бесконечность. Если точку DO соединить с полюсом Р 2, а угол, образуемый этой прямой со стороной Pi2Pis полюсного треугольника, отложить в противоположном направлении на стороне полюсного треугольника PizPzs, то свободная сторона этого угла пересечет окружность, описанную вокруг полюсного треугольника, в основной точке Dm, точки D D2, D3 симметричны с основной точкой Di2s относительно сторон полюсного треугольника. [54]
Приведенное построение показывает, что точки М и Ом являются фокусами конического сечения, касающегося сторон полюсного треугольника. Таким образом, указанное выше соответствие подвижной и неподвижной плоскости есть соединение соответствия фокусов конического сечения, вписанного в полюсный треугольник, с зеркальным отображением. [55]
Всякой прямой, проходящей через вершину полюсного треугольника, будет соответствовать на другой плоскости прямая, также проходящая через эту вершину, да еще противоположная сторона полюсного треугольника, все точки которой будут соответствовать одной и той же точке - взятой вершине. Всякой же прямой, не проходящей ни через одну вершину полюсного треугольника, будет соответствовать геометрическое место точек пересечения прямых, проходящих через вершины полюсного треугольника и построенных, как указано выше. В геометрии доказывается, что геометрическое место будет коническим сечением, проходящим через все три вершины полюсного треугольника. На этом основании соответствие называется квадратичным. Наоборот, точкам конического сечения, проходящего через вершины полюсного треугольника, соответствуют точки некоторой прямой. Среди таких конических сечений имеется одно особенное, именно круг, описанный вокруг полюсного треугольника; точкам этого круга должны соответствовать тоже точки некоторой прямой. [56]
Прямую, проходящую через ортоцентр, можно выбрать произвольно; этим определится то направление, по которому точка D0 уходит в бесконечность. Если точку DO соединить с полюсом Р 2, а угол, образуемый этой прямой со стороной Pi2Pis полюсного треугольника, отложить в противоположном направлении на стороне полюсного треугольника PizPzs, то свободная сторона этого угла пересечет окружность, описанную вокруг полюсного треугольника, в основной точке Dm, точки D D2, D3 симметричны с основной точкой Di2s относительно сторон полюсного треугольника. [57]
Кривошип но-кулисны и механизм. Пусть подвижная плоскость переводится через четыре положения при помощи кривошипно-кулисного механизма; тогда неподвижная шарнирная точка 50 ползуна однозначно определяется как точка пересечения окружностей, описанных вокруг четырех полюсных треугольников. [58]
Кроме того, на подвижной плоскости существует одна единственная точка, четыре положения которой лежат на одной прямой, именно - точка пересечения кругов, описанных вокруг четырех полюсных треугольников для каждой тройки положений из четырех данных; прямая, на которой лежат эти четыре положения найденной точки подвижной плоскости, есть прямая, проходящая через ортоцентры полюсных треугольников неподвижной плоскости, иначе говоря, эта точка подвижной плоскости соответствует бесконечно удаленной точке фокальной кривой на неподвижной плоскости. Аналогично мы найдем, что прямая, проходящая через ортоцентры полюсных треугольников подвижной плоскости, во всех четырех положениях проходит через одну и ту же точку неподвижной плоскости, именно - через общую точку пересечения кругов, описанных вокруг полюсных треугольников; иначе говоря, бесконечно удаленная точка фокальной кривой на подвижной плоскости соответствует определенной точке фокальной кривой неподвижной плоскости. [59]
Выбираем основные точки Л12з и Вш на окружности, описанной вокруг полюсного треугольника PizPisPsa ( рис. 150); пусть соответствующие центры Л0 и В0 уходят в бесконечность. Точки Ai и Bi расположены симметрично точками А ж и В12з относительно полюсной прямой Pi2 i3, а геометрическим местом точек Ai и Bi является окружность, симметричная относительно полюсной прямой Р - гР ъ окружности, описанной вокруг полюсного треугольника. [60]
Страницы: 1 2 3 4 5