Уединенные волны

Cтраница 4

Таким образом, интерпретируя эти импульсы как уединенные волны, взаимодействующие при распространении с тепловым фоном, можно сделать вывод, что при движении от 200 - й частицы к 300 - й импульсы В и С сталкиваются. [46]

Уравнение (2.5) известно в гидродинамике под названием уравнения Бус-синеска. Если рассматривать это уравнение с точностью до О ( 72), то оно превращается в линейное волновое уравнение и влияние нелинейности пропадает. Учет следующего приближения порядка О ( 14) описывает уединенные волны, которые могут перемещаться как влево, так и вправо. [47]

Результаты численных расчетов свидетельствуют о том, что, несмотря на формально первый порядок аппроксимации, описанная модель обеспечивает хорошее качество расчетов. Она дает возможность получать хорошие уединенные волны на весьма грубой с точки зрения других численных методов сетке. Немаловажным является также то, что в данной модели получаются настоящие уединенные волны, т.е. незатухающие одиночные возмущения определенной формы, распространяющиеся с постоянной скоростью. [48]

Теории Дюбрей-Жакотен и Гуйона - это теории возмущений равномерного потока. Эти результаты были получены весьма просто: удалось показать, что специальной заменой переменных задача может быть сведена к интегро-дифференциальным уравнениям типа Гам-мерштейна и основная теорема этой теории следует из общих фактов, установленных для уравнений этого типа. В другой работе Моисеев показал ( i960), что на поверхности завихренной жидкости могут возникать также и уединенные волны. Этот факт был получен автором при помощи асимптотической теории и нуждался в обосновании. [49]

Процесс взаимодействия двух солитонов. [50]

Два солитона достаточно отделены друг от друга до столкновения, в середине рисунка сходятся и потом снова разделяются. Тот факт, что траектории каждого солитона в плоскости ( ж, t) не совпадают до и после столкновения, показывает, что каждый из них претерпевает фазовый сдвиг. Заметим, кроме того, что максимум в области столкновения меньше амплитуды большего солитона, что указывает на отсутствие линейной суперпозиции в центре. Уединенные волны после столкновения сохраняют в точности первоначальную форму, и это удивительно, поскольку можно было бы думать, что сильная нелинейность в процессе столкновения разрушит их. [51]

В предыдущих главах приведены примеры локализованных классических решений нелинейных релятивистских уравнений поля. Оказывается, при определенных благоприятных условиях можно установить соответствие классических решений в пространстве-времени Минковского со связанными состояниями и состояниями рассеяния квантовой теории. В частности, уединенные волны и солитоны ( ниже для простоты мы будем и те и другие называть солитонами) можно связать с квантовыми состояниями протяженных частиц. Следующие несколько глав посвящены исследованию этой связи, что не только удовлетворит наш чисто академический интерес, но и даст новую конкретную информацию о квантовой теории. Некоторые характерные величины квантовых состояний, например энергия или формфакторы, могут быть разложены в квазиклассические ряды. Мы увидим, что главные члены в этих рядах связаны с соответствующими классическими решениями. Поэтому знание классических солитонных решений при систематическом квазиклассическом разложении дает некоторую информацию о квантовых состояниях частиц. Более того, эта информация будет непертур-бативной в смысле нелинейного взаимодействия, так как в наиболее интересных случаях непертурбативны соответствующие классические решения. Заметим, что большинство классических решений в предыдущих главах непертурбативны. Они становятся сингулярными при обращении нелинейных членов полевых уравнений в нуль. [52]

Напомним проведенное выше обсуждение скалярного поля Ф ( х, t) в двух измерениях. Пусть потенциал U ( j) в (2.11) имеет дискретное ( но не обязательно конечное) число вырожденных абсолютных минимумов, в которых он обращается в нуль. Этому удовлетворяют все примеры предыдущего раздела, а также система синус - Гордона следующего раздела, имеющая дискретную бесконечность вырожденных минимумов. Нас интересуют несингулярные решения с конечной энергией, частными случаями которых являются уединенные волны, и солитоны. [53]

Однако с практической точки зрения гораздо важнее рассмотреть вопрос о движении часто встречающихся волн с большими амплитудами. Теоретическое исследование этих волн представляет большой интерес для приложений. В последнее время в литературе [234-238] значительное внимание уделяется теории солитонов, представляющих собой уединенные волны большой амплитуды на фоне сопутствующих волн малой длины и амплитуды. В пленочных течениях солитоны наблюдаются на достаточно больших расстояниях от входного участка. Чаще всего они бывают трехмерными и накладываются на основное течение жидкости, примыкающее к твердой стенке. [54]

Страницы: 1 2 3 4