Cтраница 2
Эта аксиоматика в достаточной степени наглядна и проста. [16]
Сформулирована аксиоматика равенства, равнозначности и приоритета критериев в векторных задачах ( выпуклых) математического программирования, на основе которой разработаны конструктивные методы решения задач ВО, и исследованы связанные с ней некоторые теоретические вопросы ВО. Решена проблема двойственности в векторных задачах линейного программирования. [17]
Если гильбертовская аксиоматика направлена в историческое прошлое геометрии и преследует цель дать математически корректное обоснование геометрии в духе Евклида ( с выходами з неевклидову, неархимедову геометрию и др.); если, далее, аксиоматика, базирующаяся на свойствах движений ( Клейн, Шур и др.), отказывается от принятия конгруэнтности ( треугольников) в качестве первоначального понятия и использует для обоснования геометрии групповой подход, являющийся прогрессивным завоеванием математики XIX столетия, - и тем самым направлена на современные научные направления, то вейлевскую аксиоматику можно рассматривать как направленную в будущее. Более того, такой подход к аксиоматике позволяет устранить разрыв между школьной математикой, вузовской математикой и современной математической наукой. [18]
Поэтому аксиоматика теории множеств должна быть до некоторой степени произвольной. Лучшее, что от нее следует ожидать в случае удачи, - чтобы из аксиом можно было логически вывести, не встречая противоречий, все то, что навыводили математики до сих пор и что оправдалось удобством и практической приложимостью их результатов. Именно такую цель ставили перед собой создатели аксиоматики теории множеств. При этом, конечно, они надеялись, что еще не открытые следствия аксиом теории множеств также не будут противоречивыми. [19]
Однако аксиоматика теории нечетких множеств существенно отличается от аксиоматики теории вероятностей и позволяет использовать более простые вычислительные процедуры. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть операции объединения и пересечения нечетких множеств. [20]
Определена аксиоматика построения математической модели состояния равновесной системы. Предложен алгоритм последовательного поиска адекватной модели в классе возможных гипотез, базирующихся на физико-химической информации о системе. Разработанный метод иллюстрируется примерами исследования многокомпонентных экстракционных систем. [21]
Метод аксиоматики находится в тесной связи с методом формализации. Характерным для метода формализации является замена высказывания об изучаемом объекте или системе на естественном языке специализированными научными символами на языке науки. Образ такого высказывания называется формулой. [22]
Основы аксиоматики МСС изложены в § 3, причем установлено, что произвольная часть среды, заключенная в объеме V и ограниченная поверхностью S, в любое мгновение t находится в динамическом равновесии в смысле Даламбера: сумма всех массовых сил ( включая силы инерции) и сил, действующих на поверхности S, равна нулю. Если плотность среды р, массовая сила F и ускорение каждой частицы w в момент t известны, то объемная сила, действующая на массу в объеме dV, равна p ( F - w) dV; эта сила, проинтегрированная по объему V, в сумме с проинтегрированной по поверхности Z силой P ( v) d2, действующей на площадку dl с нормалью v на S, равна нулю. [23]
Автор подобной аксиоматики, предназначенной для школы, либо считает, что аксиоматизация приемлема для Юпитера, но неприемлема для быка, либо с помощью мысленного эксперимента устанавливает, что она слишком сложна для школьника. Действительно, школьник, ни разу не проделавший упорядочения предмета в малом, заведомо не сможет справиться с глобальным упорядочением. Созданные системы аксиом имеют самостоятельную ценность. Они могут быть предметом использования для лиц, овладевших опытом аксиоматизации. [24]
Вопросами аксиоматики евклидовой плоскости или исследованием гильбертовой системы аксиом занимались московские геометры Е. К. Бре-не в, Ч е т в е р у х и н, Г л а г о л е в, харьковские геометры И. С. Чернушенко, Г. А. Грузинцеви ленинградцы С. А. Богомолов и Л и в е н с о н; москвичи Г л а-голев и П. К. Рашевский занимались также вопросами проективной аксиоматики. [25]
На аксиоматику часто накладывается еще требование минимальности: в список аксиом не должны входить лишние аксиомы, которые могут быть выведены из остальных аксиом. [26]
Поясним аксиоматику исчисления L. В этих неформальных пояснениях мы будем трактовать высказывания как события, влекущие одно другое. [27]
Согласно аксиоматике Колмогорова, в основе всех теоретико-вероятностных рассмотрений лежит тройка объектов И, , Р, называемая полем вероятностей или вероятностным пространством. Здесь Q - непустое множество, которое интерпретируется как пространство элементарных исходов. [28]
По данной аксиоматике, вообще говоря, совершенно не видно, какой из этих трех случаев имеет место. Исторически это иллюстрируется примером эвклидовой геометрии без постулата Эвклида о параллельных, от которого зависит теорема, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной. Лобачевским ( 1829) и Больаи ( 1833) обычно предполагалось, что эти аксиомы являются категорическими; или по крайней мере, что если бы вопрос был задан в этих терминах, то на него, вероятно, был бы получен такой ответ. [29]
В аксиоматике Тисгы равновесие постулируется в сильной форме ( Пв) и ( Пв), Это позволяет в рамках теории сформулировать практический критерий ( на основе третьего начала термодинамики) определения уровня, на котором достигается равновесие. [30]