Cтраница 3
Такой начальной аксиоматикой, вне сомнения, являются некоторые принципы обучения, не требующие, доказательства для своего применения. Это принципы на у чности, системности, связд те ор ии cjir aKTjKoft, сознательности, соединеющ индивидуального и коллективного в учебнолГпроцессе, досту шюсти обучения. [31]
Если же аксиоматика формальна, то по крайней мере нам нужна уверенность, что теоремы следуют из аксиом; и, кроме того, чтобы математическое творчество не сводилось к бессмыслице, должно иметься какое-то соответствие между этими результатами и некоторой действительностью, лежащей вне аксиоматической теории. Формально аксиоматизированные математические предложения не могут составить всей математики; должна иметься также интуитивно понимаемая математика. Если мы вынуждены отказаться от нашей прежней веры, что она содержит всю арифметику, анализ и теорию множеств, то мы не можем испытать полного удовлетворения, пока не узнаем, в чем была ошибочность этой веры и где теперь должна проходить разделительная черта. [32]
Условие 3 аксиоматики 1J / - функции тем саыым удовлетворяется. [33]
Впервые эта аксиоматика была представлена в 1959 г. на семинаре ОЕСЕ в Руаомоне. В приложении я привожу набросок второй аксиоматики, в которой главная роль отводится метрическим свойствам плоскости и осевым симметриям. [34]
Дальнейшее усовершенствование аксиоматики связано с третьим правилом вывода. [35]
Однако проследим аксиоматику г-на Дюринга несколько дальше. Обе воли не могут предъявить друг другу никаких положительных требований. Если же одна из них все же делает это и проводит свое требование силой, то возникает состояние несправедливости, и на этой основной схеме г-н Дюринг разъясняет, что такое несправедливость, насилие, рабство, - коротко говоря, разъясняет всю прошлую, достойную осуждения историю. Между тем уже Руссо в указанном выше сочинении как раз при посредстве двух мужей доказывал столь же аксиоматически нечто совершенно противоположное, а именно: что из двух субъектов, А и В, первый не может поработить второго посредством насилия, а может сделать это, только поставив В в такое положение, в котором последний не может обойтись без А, - воззрение, для г-на Дюринга чересчур уж, правда, материалистическое. Рассмотрим поэтому тот же вопрос несколько иначе. Два человека, потерпевших кораблекрушение, попали на необитаемый остров и образуют там общество. Воли их формально совершенно равны, и оба признают это. Но материально между ними существует большое неравенство: А - решителен и энергичен, В - нерешителен, ленив и вял; А - смышлен, В - глуп. Много ли времени должно пройти, чтобы, как правило, А навязал В свою волю, сначала путем убеждения, затем по установившейся привычке, но всегда в форме добровольного согласия. Соблюдается ли здесь форма добровольного согласия или же она грубо попирается ногами - рабство остается рабством. [36]
Чтобы получить аналогичную аксиоматику планиметрии, достаточно исключить плоскости из списка основных объектов и оставить в группе I аксиом принадлежности только первые четыре аксиомы. [37]
Однако проследим аксиоматику г-на Дюринга несколько дальше. Обе воли не могут предъявить друг другу никаких положительных требований. Если же одна из них все же делает это и проводит свое требование силой, то возникает состояние несправедливости, и на этой основной схеме г-н Дюринг разъясняет, что такое несправедливость, насилие, рабство, - коротко говоря, разъясняет всю прошлую, достойную осуждения историю. Менаду тем уже Руссо в указанном выше сочинении как раз при посредстве двух мужей доказывал столь же аксиоматически нечто совершенно противоположное, а именно: что из двух субъектов, А и В, первый не может поработить второго посредством насилия, а может сделать это, только поставив В в такое положение, в котором последний не может обойтись без А, - воззрение, для г-на Дюринга чересчур уж, правда, материалистическое. Рассмотрим поэтому тот же вопрос несколько иначе. Два человека, потерпевших кораблекрушение, попали на необитаемый остров и образуют там общество. Воли их формально совершенно равны, и оба признают это. Но материально между ними существует большое неравенство: А - решителен и энергичен, В - нерешителен, ленив и вял; А - смышлен, В - глуп. Много ли времени должно пройти, чтобы, как правило, А навязал В свою волю, сначала путем убеждения, затем по установившейся привычке, но всегда в форме добровольного согласия. Соблюдается ли здесь форма добровольного согласия или же она грубо попирается ногами - рабство остается рабством. [38]
Однако проследим аксиоматику г-на Дюринга несколько дальше. Обе воли не могут предъявить друг другу никаких положительных требований. Если же одна из них все же делает это и проводит свое требование силой, то возникает состояние несправедливости, и на этой основной схеме г-н Дюринг разъясняет, что такое несправедливость, насилие, рабство, - коротко говоря, разъясняет всю прошлую, достойную осуждения историю. Между тем уже Руссо в указанном выше сочинении как раз при посредстве двух мужей доказывал столь же аксиоматически нечто совершенно противоположное, а именно: что из двух субъектов, А и В, первый не может поработить второго посредством насилия, а может сделать это, только поставив В в такое положение, в котором последний не может обойтись без А - воззрение, для г-на Дюринга чересчур уЖ; правда, материалистическое. Рассмотрим поэтому тот же вопрос несколько иначе. Два человека, потерпевших кораблекрушение, попали на необитаемый остров и образуют там общество. Воли их формально совершенно равны, и оба признают это. Но материально между ними существует большое неравенство: А - решителен и энергичен, В - нерешителен, ленив и вял; А - смышлен, В - глуп. Много ли времени должно пройти, чтобы, как правило, А навязал В свою волю, сначала путем убеждения, затем по установившейся привычке, но всегда в форме добровольного согласия. Соблюдается ли здесь форма добровольного согласия или же она грубо попирается ногами - рабство остается рабством. Когда в Пруссии, после военных поражений 1806 и 1807 гг., была отменена крепостная зависимость, а вместе с ней и обязанность всемилостивейших господ заботиться о своих подданных в случае нужды, болезни и старости, то крестьяне подавали петиции королю с просьбой оставить их в подневольном состоянии, иначе кто же будет заботиться о них в случае нужды. Следовательно, схема двух мужей применима в такой же степени к неравенству и рабству, как к равенству и взаимопомощи, а так как мы вынуждены, под страхом вымирания общества, признать их главами семей, то в схеме предусмотрено уже и наследственное рабство. [39]
Говоря об аксиоматике, я имею в виду следующую методическую процедуру: естественное разделение различных сторон конкретно заданного объекта математического исследования, описание каждой из них на основе своей, сравнительно узкой и легко обозримой группы допущений, последующее объединение частных результатов, полученных при надлежащей спецификации, с возвращением к сложному целому. Последняя, синтетическая часть процедуры осуществляется чисто механически. [40]
Поскольку в аксиоматике категорий ничего не говорится о теоретике-множественной структуре объектов, мы не можем в общем случае работать с элементами этих объектов. Все основные общекатегорные конструкции и их приложения к конкретным категориям формулируются преимущественно в терминах морфизмов и их композиции. [41]
Сравнение с аксиоматикой Колмогорова. В этой широко известной аксиоматике теории вероятностей в качестве теоретического двойника случайной величины выбирается измеримая функция Х ( ш), заданная на абстрактном вероятностном пространстве Q. Мизесовский подход, скорее всего, не может быть полностью уложен в рамки аксиоматики Колмогорова, так как точку со практически невозможно отождествить с номером s испытания, если s пробегает счетное множество значений. Невозможность обусловлена свойствами понятия меры. [42]
Центральным местом нашей аксиоматики является доказанная в первом разделе настоящей работы теорема, утверждающая, что если формфакторы двух операторов удовлетворяют требованиям ( 2) ( 3), ( 4), то операторы коммутируют на. В третьем разделе будут вычислены сингулярности коммутаторов токов в начале координат на пространственном интервале. [43]
ВЕКТОРНО-ТОЧЕЧНАЯ АКСИОМАТИКА - аксиоматика re - мерного аффинного пространства R, первичными понятиями к-рой являются точка и вектор; связь между ними реализуется с помощью сопоставления парам точек однозначно определенного вектора. [44]
Предложенная в работе аксиоматика среды, подверженной действию термодинамических и механических сил, позволяет получить известные подходы к описанию термоупругих сред и определить новые. Вместе с тем доказывается, что некоторые известные теории несостоятельны с позиций введенной аксиоматики. [45]