Cтраница 2
Ciii ( t) - - - j - Cala ( О G S - Из определения линейного пространства ( см. § 5) следует, что совокупность решений 5 образует линейное пространство. [16]
Предостережение: нульмерные пространства над разными полями - это разные пространства: задание поля Ж входит в определение линейного пространства. [17]
Свойства 2 и 3 означают, что линейные комбинации функций из L2 снова принадлежат 12; при этом, очевидно, сложение функций из L2 и умножение их на числа удовлетворяют всем условиям, перечисленным в определении линейного пространства ( гл. [18]
Непосредственной подстановкой в систему ( 3) нетрудно убедиться, мто сумма Ci i () С2 а ( 0 также является решением системы ( 3), т.е. Ci i ( /) c2 a ( 0 е S. Из определения линейного пространства ( см. § 5) следует, что совокупность решений 5 образует линейное пространство. [19]
Покажем, что L ( S) есть подмножество X. Это следует из определения линейного пространства. [20]
Таким образом, все аксиомы выполнены. Значит, на основании определения линейного пространства можно заключить, что множество Р с указанными двумя операциями образуют линейное пространство. [21]
Действительно, если х, еР, то ху Р, и если хР, а е Ко, то ха Р, что следует из свойств операции умножения положительных чисел и степени с положительным основанием. Остается проверить выполнимость восьми аксиом определения линейного пространства. [22]
При сложении векторов координаты их складываются, а при умножении на число все координаты вектора умножаются на это число. Поэтому геометрические факты, вытекающие из определения линейного пространства, которые имеют место в R, мы можем параллельно изложить как в R, так и в пространстве R троек чисел. [23]
Убедимся в том, что подмножество L, удовлетворяющее требованиям 1 и 2, само является линейным пространством. Достаточно убедиться в справедливости для элементов подмножества L аксиом Г-8 из определения линейного пространства. Все указанные аксиомы, кроме аксиом 3 и 4, заведомо справедливы для элементов подмножества L, поскольку они справедливы для всех элементов пространства R. Пусть х - любой элемент подмножества L, а А, - любое вещественное число. [24]
Убедимся в том, что подмножество L, удовлетворяющее требованиям Г и 2, само является линейным пространством. Достаточно убедиться в справедливости для элементов подмножества L аксиом Г-8 из определения линейного пространства. Все указанные аксиомы, кроме аксиом 3 и 4, заведомо справедливы для элементов подмножества L, поскольку они справедливы для всех элементов пространства R. Пусть х - любой элемент подмножества L, а Я, - любое вещественное число. Тогда в силу требования 2 элемент Ядг также принадлежит L. Остается заметить, что ( в силу теоремы 2.2) этот элемент Кх при А, О превращается в нулевой элемент пространства R, а при К - 1 превращается в противоположный для х элемент. Тем самым полностью доказано, что подмножество L само является линейным пространством. [25]
Убедимся в том, что подмножество L, удовлетворяющее требованиям 1 и 2, само является линейным пространством. Достаточно убедиться в справедливости для элементов подмножества L аксиом 1 - 8 из определения линейного пространства. Все указанные аксиомы, кроме аксиом 3 и 4, заведомо справедливы для элементов подмножества L, поскольку они справедливы для всех элементов пространства R. [26]
Убедимся в том, что подмножество L, удовлетворяющее требованиям Г и 2, само является линейным пространством. Достаточно убедиться в справедливости для элементов подмножества L аксиом 1 - 8 из определения линейного пространства. Все указанные аксиомы, кроме аксиом 3 и 4, заведомо справедливы для элементов подмножества L, поскольку они справедливы для всех элементов пространства R. Пусть х - любой элемент подмножества L, а А, - любое вещественное число. Тогда в силу требования 2 элемент Кх также принадлежит L. Остается заметить, что ( в силу теоремы 2.2) этот элемент Кх при К 0 превращается в нулевой элемент пространства R, а при А, - 1 превращается в противоположный для х элемент. L само является линейным пространством. [27]
В любом фактор-пространстве, естественно, вводятся операции сложения и умножения на числа. Непосредственная проверка показывает, что эти операции удовлетворяют всем требованиям, содержащимся в определении линейного пространства ( проведите эту проверку. Иначе говоря, каждое фактор-пространство L / L ( с теми операциями сложения и умножения на числа, которые мы сейчас в нем определили) представляет собой линейное пространство. [28]
Убедимся в том, что подмножество I /, удовлетворяющее требованиям 1) гл 2), само является линейным пространством. Достаточно убедиться в справедливости для элементов подмножества L аксиом 1) - 8) из определения линейного пространства. Все указанные аксиомы, кроме аксиом 3) и 4), заведомо справедливы для элементов подмножества I /, поскольку они справедливы для всех элементов пространства R. [29]
Непосредственной подстановкой в систему ( 3) нетрудно убедиться, что сумма Ci i ( t) c % z ( t) также является решением системы ( 3), т.е. Ci i ( 0 c2l2 ( t) e S. Из определения линейного пространства ( см. § 5) следует, что совокупность решений S образует линейное пространство. [30]