Cтраница 2
В последние тридцать лет книга Курта Рейдемейсте-ра Knotentheorie, изданная в серии Ergebnisse der Ма-thematik, была - по-видимому, единственной книгой по нашему предмету. За это время в теории узлов сделано существенное продвижение и теперь комбинаторная точка зрения, преобладавшая в Knotentheorie, заменилась строгим топологическим подходом. В связи с этим мы везде подчеркиваем топологическую инвариантность нашей теории. [16]
Представляется ясным, что бифуркации в вариационных задачах, рассмотренные Сьюэллом [96, 97], поддаются исследованию топологическими методами - и, несомненно, топологический подход к особенностям поверхности текучести должен оказаться интересным - но развивать эту тему здесь мы не имеем возможности. [17]
Хотелось бы также поблагодарить членов Факультета электроинженеров и вычислительных наук за ценные соображения, высказанные на рабочем совещании 30 марта 2000 г., на котором автор изложил основные принципы и относящиеся к делу алгоритмы выдвигаемого топологического подхода, а также некоторые предварительные результаты машинного моделирования конкретных алгоритмов обработки данных. [18]
Другое направление использует абстрактно-топологический подход, широко развитый в работах Крона и послуживший физической основой для развития большой отрасли математики, которая в настоящее время называется топологией и широко применяется, уже как практическая методика, во многих методах расчетов, относящихся к электротехнике, механике и другим техническим задачам. Топология имеет дело с неметрическими свойствами геометрических объектов, т.е. оценивает их, не включая ни расстояния, ни длины, ни площади, ни объемы. При топологическом подходе изучаются структуры соединений элементов цепи, полностью определяющие число независимых контурных токов ( или число независимых потенциальных узлов) и другие показатели сложной системы. Изучение облегчается широким применением топологических понятий. Так, в последнее время в расчеты электрических систем введены из теории графов понятия деревьев, ветвей, была установлена связь определителя матрицы полных прово-димостей цепи и величин, характеризующих ветви деревьев. [19]
В этом смысле наш мир есть не что иное, как 4-мерный континуум. Причинную структуру, о которой говорилось выше, необходимо построить в среде этого 4-мерного мира, т.е. из символов, образующих наше топологическое пространство. Мы умышленно избрали топологический подход, поскольку только он позволяет достичь широты, достаточной для того, чтобы мы могли охватить одновременно специальную и общую теорию относительности. Специальная теория относительности рассматривает причинную структуру как нечто геометрическое, жесткое, заданное раз и навсегда, в общей же теории относительности эта структура обретает гибкость и зависимость от вещества - так же, как, например, электромагнитное поле. Анализируя природу, мы расчленяем явления на простые элементы, каждый из которых изменяется в определенном диапазоне возможностей, диапазоне, который обозрим для нас a priori потому, что эти возможности мы строим a priori чисто комбинаторным образом из некоего чисто знакового материала. Многообразие точек пространства-времени является одним из конструктивных элементов природы, по-видимому, наиболее важным. Мы разлагаем свет на пучки плоско поляризованного монохроматического света, обладающие несколькими переменными характеристиками; значения одной из таких характеристик - длины волны - принадлежат знаково-сконструированному континууму действительных чисел. В силу априорности этой конструкции мы говорим о количественном анализе природы; я убежден, что слово количественный, если ему вообще можно придать какой-нибудь смысл, надлежит понимать в этом широком смысле. Мощь науки, как свидетельствует развитие современной техники, опирается на комбинацию априорных знаковых конструкций и систематического опыта в форме планируемых и воспроизводимых экспериментов ( reactions) и соответствующих измерений. В качестве материала для своих построений a priori Галилей и Ньютон использовали такие свойства реального мира, как пространство и время, которые они считали объективными в противоположность субъективным чувственным качествам, отвергаемым ими. Этим и объясняется важная роль, которая отводилась геометрическим фигурам в их физике. Должно быть, вы помните следующие строки из сочинения Галилея Пробирных дел мастер 12, где он говорит, что величественную книгу природы может читать лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Впоследствии мы узнали, что ни один из элементов ( features) нашего непосредственного восприятия ( observation), даже пространство и время, не может быть сохранен в мире, претендующем на подлинную объективность, и в конце концов пришли к необходимости принять чисто знаковую комбинаторную конструкцию. [20]
Выход этой книги на русском языке - языке, на котором была развита столь значительная часть излагаемой в ней теории, а также объемлющей ее теории динамических систем - является для авторов высокой честью. В нашем обсуждении структурной устойчивости отмечается русское происхождение этого понятия. Впоследствии советские исследователи внесли в разработку топологического подхода к нелинейной динамике вклады слишком многочисленные, чтобы можно было перечислить их все; из ранних работ особенно отметим книгу Теория колебаний А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина:, из последних - работы В. И. Арнольда по теории особенностей и динамике. [21]
В современной теоретической химии усиливается тенденция шире использовать математический аппарат для описания молекулярных структур и химических превращений. Ныне все более очевидной становится практическая ценность общих топологических подходов для решения химических задач. К сожалению, в отечественной литературе - - данная область исследований мало отражена. [22]
Наш пример соответствия неприводимый - связный типичен еще в одном отношении. Сколь нагляден, прост и легок для понимания топологический критерий ( потряси бумажную модель и посмотри, распадется ли она на части) по сравнению с алгебраическим. Наглядная первичность континуума ( по моему убеждению, континуум в этом отношении предшествует даже единице и целым числам) 4 делает топологический подход пригодным как для открытий, так и для общего обзора положения дел в соответствующей области математики. [23]
Точнее, в этой теории рассматриваются пересечения некоторых кривых в этом многообразии с некоторым циклом коразмерности один. Впрочем, у самого Ботта рассмотрения велись в группе симплектических преобразований, и лишь по ходу дела ( при разрешении особенностей некоторого псевдомногообразия) привлекались лаг-ранжевы плоскости. Его работа получила широкую известность и оказала влияние ( включая обозначения и терминологию) на те из позднейших работ об индексе, в которых используется н развивается топологический подход Ботта-Эдвардса. [24]
Трацией марганца, как правило, не превышающей 1 %), может служить иллюстрацией картины, предлагаемой многими авторами для ковалентных и метал лических стекол, которые часто называют: первые - твердыми телами со случайной структурной сеткой, а вторые - твердыми телами со случайной плотной упаковкой. Но, по моему мнению, такая терминология полностью оправдана только в отношении сильно разбавленных спиновых стекол, поскольку спиновое стекло есть искусственная система, в которой релаксация спинового беспорядка при охлаждении оказывается невозможной из-за ограничений, налагаемых на пространственный порядок извне пространственными свой ствами решетки матрицы. Мне даже кажется, что задержка упорядочения, обусловленная максимальной случайностью в спиновом стекле, во многих отношениях есть антитеза к кинетическим эффектам, благодаря которым возможно глубокое переохлаждение и в конце коицов замораживание расплава в некристаллическое твердое тело с минимальной случайностью в расположении атомов, каковым является обычное стекло. Дело в том, что подавление кристаллизации в ее-тественньтх стеклообразующйх веществах связано с внутренним распределением сил i мйжлхомщш лааи Содействия, а не с внешними ограничениями; типа расположения узлов решетки, еющйми место в спиновых стеклв Г 1Я йЖ, что слово случайность 1ШШШЕНШ к нек зисталлическиъ1 твердым телам часто используется просто, чтобы обойти вопрос, и наш топологический подход призван не столько дополнить это представление, сколько заменить его. Рис, 5 иллюстрирует различие точек зрения. [25]
Издательство Мир недавно i ыпустило перевод книги: Сян У. Необходимо отметить, что, несмотря на некоторое пересечение материала книг У. Бре-дона, зги книги очень хорошо дополняют друг друга. Первая из них посвящена в основном развитию алгебраического, а вторая - развитию топологического подхода к теории непрерывных групп преобразований. [26]