Cтраница 2
Заменяя в определении н-мерного абстрактного гомологического-многообразия А-комплекс бесконечным А-комплексом, получаем определение бесконечного n - мерного абстрактного гомологического многообразия. На его основе строится далее понятие бесконечного п-мерного гомологического многообразия ( ср. [16]
В то же время значителен класс пространств, допускающих построение системы координат в некоторой окрестности каждой точки. На этом пути и приходят к понятию многообразия. [17]
Локальными свойствами отображений являются свойства, касающиеся лишь - окрестности точки и природы отображения в этой окрестности. Очевидно, что они не зависят от топологического типа многообразия в силу самого определения понятия многообразия. Следовательно, при локальном изучении внутренних отображений двумерных многообразий можно ограничиться случаем, когда оба многообразия V и W являются евклидовыми плоскостями. [18]
Но мы еще здесь познакомимся с тем, какие специальные рассмотрения Риман связывал со своей формулой. Под многообразием постоянной кривизны понимают, следуя Риману, такое многообразие, для которого выходящее в произвольном направлении из произвольной точки х пространства Rn геодезическое многообразие всегда имеет одну и ту же гауссову кривизну для которого следовательно коварианты А и В являются пропорциональными. В это понятие многообразия постоянной кривизны включается, в частности, многообразие обращающейся в нуль кривизны. [19]
Так, гамильтонова система с п степенями свободы всегда обладает локально 2п - 1 не зависящими от времени постоянными. Основной вопрос состоит в том, сколько из этих постоянных могут быть определены глобально. Понятие многообразия позволяет уяснить различие между локальными и глобальными величинами. [20]
По-видимому, первым четко выделил это, понятие А. В настоящее время понятие многообразия настолько ( Прочно укоренилось в математическом мышлении, что невозможно указать математиков, специально разрабатывающих теорию многообразии. [21]
Обобщению понятия поверхности и дальнейшему развитию теории поверхностен в большой мере способствовали труды замечательного немецкого математика Бернхарда Римана, воспитанника и затем профессора Геттингенского университета. Он положил начало новому, геометрическому направлению в развитии теории функций комплексного переменного, разработал теорию конформных отображений и является одним из основателей теории дифференциальных уравнений и топологии. В знаменитой своей лекции О гипотезах, лежащих в основании геометрии, прочитанной в 1854 г. в Геттингенском университете и опубликованной посмертно в 1866 г., Риман вводит понятие многообразия как совокупности элементов, объектов любой природы, каждый из которых может быть определен несколькими вообще п числами. Такие многообразия называют м-мерными пространствами. Так, всякую поверхность можно рассматривать как двумерное пространство; обычное пространство является трехмерным. Таким же является множество всех окружностей на плоскости, так как каждая окружность вполне определяется тремя числами: двумя координатами центра и величиной радиуса. [22]
По определению, он гомео-морфен некоторому прямолинейному полиэдру Y. Y является суммой симплексов некоторого Е - комплекса К и, наконец, К определяет А-комплекс, С - совокупность остовов вершин симплексов, принадлежащих К. Это построение А-комплекса С по заданному полиэдру X не однозначно. Оказывается, однако, что принадлежность построенного А-комплекса к классу н-мерных абстрактных гомологических многообразий не зависит от произвола конструкции и определяется, следовательно, исключительно полиэдром X, как топологическим пространством. Это дает возможность определить n - мерное гомологическое многообразие, как полиэдр, дающий n - мерное абстрактное гомологическое многообразие при только что описанной конструкции. Очевидно, что так определенное понятие п-мерного гомологического многообразия является топологически инвариантным: всякое пространство, гомеоморфное п-мерному гомологическому многообразию, само является таковым. [23]
Начинается первая часть с главы, посвященной исходным понятиям универсальной алгебры. Вторая глава, как уже отмечалось, посвящена рассмотрению классических структур. Лишь немногое из этой главы в базах данных непосредственно не применяется. Третья глава посвящена категориям, а в четвертой рассматриваются категории специального вида - топосы. Топосы дают естественный подход к изучению нечетких структур, и понятно, что это важно в приложениях. Пятая глава посвящена многообразиям и другим классам алгебр. Понятие многообразия непосредственно используется в определении модели базы данных. Наконец, шестая глава посвящена элементам категорной алгебры и категорному взгляду на алгебры и алгебраические теории. Этот материал также необходим в базах данных. [24]