Cтраница 3
Дело в том, что понятия и принципы всей математики не могут быть полностью выраже-йы никакой формальной системой, как бы мощна она ни была. Это обстоятельство, в частности, проявляется в том, что, как показал Гедель, вопрос о непротиворечивости достаточно богатой формальной системы не может быть решен средствами, которые формализуются в той же системе. Так как средства рассуждений, допускаемые финитизмом, можно выразить в пределах определенного формализма ( например, в аксиоматической арифметике, которая описана в главе V), то непротиворечивость такого формализма в рамках финитизма доказать нельзя. Однако нет никаких оснований предполагать, что границы - которые кладет финитизм Гильберта, действительно необходимы для того, чтобы исключить вызывающие сомнения элементы математического мышления. Возможен дальнейший анализ предмета математики и выделения, в нем надежных непротиворечивых средств, выходящих за рамки финитизма и все же достаточно сильных для того, чтобы решать интересующие нас вопросы. Но выход за рамки фици - Тйзма не уничтожает основной идеи метода, предложенного Гильбертом и состоящего в формализации тех математических систем, которые подлежат обоснованию, средствами некоторого круга понятий, принятых в качестве основы в силу тех или других соображений. На самом деле, если для решения указанных выше вопросов средств финитизма недостаточно, то дли постановки1 этих вопросов этих средств вполне достаточно. [31]
В эпоху специализации по каждому предмету существует свой эксперт. В вопросах строгости экспертами являются логики. Таким образом, и наше представление о геометрии, и то, что думает о ней Шварц, лежит за порогом геометрии и лишено математической санкции. К вещам, лежащим вне системы, то есть вне формализованной математической теории, прежде всего следует отнести предмет теории, о которой система ничего не говорит. Профессора Шварца не интересует предмет математики и еще - в меньшей степени ее интуитивный фон и приложения, которые Феллер считает равноправными с формальной конструкцией математических теорий. Историческое развитие математики подтверждает первенство предмета: прямые, точки и плоскости существовали до того, как появилась геометрия - не те прямые, точки и плоскости, которые имел в виду Гильберт, а реальные прямые, точки и плоскости, которые учитель демонстрирует своим ученикам, указывая на ребра, вершины и грани куба, сделанного из дерева или стекла. Именно они составляют предмет геометрии, и обладают приматом перед теорией так же, как розы - перед ботаникой и звезды - перед астрономией. Интуитивным фоном геометрии служат естественные знания об этих моделях, частично накопленные в детстве при непосредственном столкновении с такими моделями или подобными им предметами, а частично переданные по наследству, то есть врожденные. Именно благодаря этому обстоятельству теория, то есть евклидова геометрия, применяется при измерении площади земельных участков, проведении границ и ориентации на суше и на море, если говорить лишь о наиболее древних применениях геометрии. [32]
Ответить на этот вопрос было бы легче, если бы нам удалось определить - предмет математики - то, чем она занимается. Может показаться, что сделать это совсем нетрудно: математика изучает числа. Однако не каждое утверждение о числах относится к математике. Например, утверждение Луна три раза выглядывала из-за тучи вряд ли стоит считать математическим, и в то же время геометрию нельзя не причислить к математике. Даже если бы мы ограничили предмет математики числами, нам все равно не удалось бы избежать трудностей, связанных с тем, что самое понятие числа изменялось со временем. Нуль и отрицательные числа еще не были известны. [33]
Для построения своих выводов и заключений теоретическая физика пользуется приемами и методами математики. Однако от последней она резко отличается непосредственной связью с результатами эксперимента. Не говоря уже о том, что установление общих законов возможно только на основе экспериментальных данных, даже нахождение следствий из общих законов нуждается в предварительном экспериментальном изучении явлений. Без такого изучения часто невозможно установить, какие из громадного числа участвующих факторов существенны, а какими можно пренебречь. После того как получены уравнения, учитывающие только существенные факторы, задача теоретической физики, собственно говоря, в основном заканчивается. Дальнейшее применение полученных уравнений к более или менее сложным конкретным случаям является уже скорее предметом математики и изучается отделом математики, носящим название математической физики. [34]