Cтраница 2
Далее, он получил асимптотическое выражение для наилучшего приближения функции х, решив этим знаменитую тогда проблему Валле-Пуссена. Этим было положено начало классификации функций с новой точки зрения, что привело к новому направлению теории функций, которое С. Н. Бернштейн впоследствии назвал конструктивным. [16]
В применении к функциям, преобразование Фурье ( спектр) которых обращается в нуль вне некоторого отрезка длины 2 ( j, эта идея восстанавливаемости функции по дискретной совокупности ее значений, взятых в арифметической прогрессии с разностью я / о, была впервые обоснована Валле-Пуссеном. [17]
Существует большое число работ, посвященных современной теория интегрирования. Книга Валле-Пуссена дает прекрасное введение в теорию интеграла Лебега и содержит также несколько глав относительно аддитивных функций множества, в то время как другие две книги углубляются в более трудные части теории. [18]
Во-первых, это Курс анализа бесконечно малых де ла Валле-Пуссена. Двухтомник Валле-Пуссена, память которого я хочу здесь почтить, я старательно изучал будучи студентом, а теперь он служит моей настольной книгой. [19]
Докажем следующую теорему Валле-Пуссена ( см. Валле-Пуссен [2], стр. [20]
Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать простое замечание: мы знаем, что признаки Валле-Пуссена и Юнга несравнимы. Значит, можно указать случай, когда признак Валле-Пуссена применить можно, а признак Юнга нельзя. Но признак Лебега не слабее признака Валле-Пуссена, значит и он в рассматриваемом случае может быть применен. [21]
При этом мы выполнили программу, намеченную Лебегом и частично развитую Валле-Пуссеном. На этом пути легко установить существование граней и определить арифметические действия. Что касается доказательства алгебраических тождеств ( например, дистрибутивности), то, выбирая между аксиоматическим построением действительных чисел ( когда эти тождества постулируются) и нудной проверкой этих свойств, мы предпочли перечислить алгебраические свойства в качестве недоказанных теорем. Учащемуся представляется возможность либо самостоятельно доказать эти тождества, либо вернуться к ним после теории пределов и непрерывных функций ( не пользующихся ими) и найти в приложении ко 2 - й главе естественные доказательства. [22]
При этом для функций гц задаются не только обычные условия (1.7) - (1.9), но еще и на неизвестных линиях, расположенных внутри прямоугольника П ( Т) ( этим линиям отвечает последняя группа уравнений в системе (4.1)), задаются дополнительные соотношения, связывающие искомые решения. Это делает такую задачу в чем-то сходной, с одной стороны, с задачей Валле-Пуссена ( для уравнений с частными производными в иной постановке, сходной с постановкой задач в [30], такие задачи рассмотрены, например, в [14]), а с другой стороны, с задачей Стефана. [23]
Но так как эти два признака несравнимы ( см. § 2), то признак Валле-Пуссена сильнее каждого из них. [24]
Таковы причины, побудившие меня изложить это построение действительных чисел, опирающееся на позиционную систему счисления, далекую Греческой математике. Мне кажется, что мы при этом выполнили программу, намеченную Лебегом и частично развитую Валле-Пуссеном. [25]
Асимптотический закон распределения простых чисел был доказан в 1896 г почти одновременно и независимо друг от друга самим Адама-ром и де-ла - Валле-Пуссеном. Из этих двух доказательств первое ( принадлежащее Адамару) проще, однако де-ла - Валле-Пуссен ( в другой работе, опубликованной в 1899 г.) со всей подробностью исследовал вопрос о точности приближения. [26]
Полиномы наилучшего приближения находим следующим образом. На [ fct-itti ] вводится равномерная сетка Т, состоящая из 7 1 точек, и решается дискретная задача наилучшего приближения с помощью алгоритма Валле-Пуссена [ 39, с. [27]
Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать простое замечание: мы знаем, что признаки Валле-Пуссена и Юнга несравнимы. Значит, можно указать случай, когда признак Валле-Пуссена применить можно, а признак Юнга нельзя. Но признак Лебега не слабее признака Валле-Пуссена, значит и он в рассматриваемом случае может быть применен. [28]
Если Т - компактный интервал вещественной оси, то это утверждение тесно связано с так называемыми теоремами Хелли, формулируемыми в терминах функций ограниченной вариации, причем здесь играет роль интеграл Римана - Стилгьеса. Подробности см. у Натансона [ 1, стр. Для случая, когда Т есть пространство Rn, этот результат был назван Валле-Пуссеном принципом выбора и использовался им и Фростма-ном в теории потенциала. [29]
Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать простое замечание: мы знаем, что признаки Валле-Пуссена и Юнга несравнимы. Значит, можно указать случай, когда признак Валле-Пуссена применить можно, а признак Юнга нельзя. Но признак Лебега не слабее признака Валле-Пуссена, значит и он в рассматриваемом случае может быть применен. Совершенно также заключаем, что он сильнее признака Валле-Пуссена. Но этот последний сильнее признаков Дини и Жор-дана. Значит, признак Лебега сильнее этих двух, и доказательство нашего утверждения закончено. [30]