Cтраница 2
Замечание 2.1. Ясно, что продолжение меры с S на R ( S) единственно. [16]
Поэтому приходится рассматривать те или иные продолжения бэровской меры. Вообще говоря, существует много таких продолжений. [17]
Описанный в § 4 способ продолжения меры был впервые предложен Лебегом для продолжения длины как функции множества с интервалов ( промежутков) на более широкий класс множеств. Рассмотрим этот наиболее важный пример подробнее. [18]
В общем случае ответ дает процедура продолжения меры по Каратеодори. [19]
ПвКижем, ч го они яиляется продолжением меры m как функции мпожеаиа. [20]
Эту меру можно распространить, используя лебегово продолжение меры, до некоторой счетно-аддитивной меры ( г, заданной на ст-кольце йм ц-измеримых множеств. Тогда и каждое замкнутое множество F a IR является fi - измеримым. [21]
В этом параграфе мы применим общие методы теории продолжения меры к специальному случаю, рассмотренному в § 8, и установим относящиеся к этому случаю классические результаты; попутно будет введена терминология, установившаяся в этом круге вопросов. [22]
Очевидно, функция ц ( А) является продолжением меры т ( Р) на более широкий класс множеств. [23]
Для введения этих объектов требуется теорема Колмогорова о продолжении меры. [24]
Проблема такого расширения, или, как говорят, продолжения меры, имеет общематематическое значение. Требование конечности меры всего пространства, как это имеет место для вероятностной меры, не является здесь принципиальным, и, если не оговорено противное, для мер будут допускаться и бесконечные значения. [25]
Теперь возникает важная проблема, заключающаяся в доказательстве единственности продолжения меры. В нашем случае это может быть сделано очень просто посредством сведения к единственности меры Лебега. Последнее означает, что если мера [ г, определенная на ( 0 1), удовлетворяет 1, 2 и 3 и если [ г-мера любого интервала равна его длине, то ц, - обычная мера Лебега. [26]
Речь идет о том, чтобы с помощью теории продолжения меры сделать то, чего никак нельзя сделать с помощью древнего понятия длины, площади, объема, - ввести ( вероятностную) меру в бесконечномерном пространстве. Будем считать, что с мерами в конечномерном пространстве мы уже достаточно освоились. Теоретически запас таких мер у нас, действительно, достаточно велик: любая неотрицательная функция, интеграл от которой по всему пространству равен единице, может, например, выступать как плотность распределения вероятностей. Практически же мы знакомы с небольшим запасом одномерных распределений различных частных видов; с понятием независимости, позволяющим конструировать многомерные распределения из одномерных путем прямого произведения, и с функциями, превращающими независимые случайные величины в зависимые. Так построено, например, многомерное нормальное распределение. [27]
Теперь возникает важная проблема, заключающаяся в доказательстве единственности продолжения меры. В нашем случае это может быть сделано очень просто посредством сведения к единственности меры Лебега. Последнее означает, что если мера jj, определенная на ( 0 1), удовлетворяет 1, 2 и 3 и если ji - мера любого интервала равна его длине, то ( а - обычная мера Лебега. [28]
Теперь возникает важная проблема, заключающаяся в доказательстве единственности, продолжения меры. В нашем случае это может быть сделано очень просто посредством сведения к единственности меры Лебега. Последнее означает, что если мера и, определенная на ( 0 1), удовлетворяет 1, 2 и 3 и если [ г-мера любого интервала равна его длине, то ц - обычная мера Лебега. Получившееся отображение имеет также то свойство, что оно переводит цилиндрические множества, в объединения непересекающихся интервалов, концевые точки которых являются двоично-рациональными числами. Кроме того, мера, приписанная нами цилиндрическому множеству, равна лебеговой мере ( длине) множества, полученного при его отображении. [29]
Основная наша задача заключается в том, чтобы научиться строить продолжение меры. Продолжение меры с полукольца S на кольцо K ( S) строится в следующей теореме. [30]