Cтраница 2
Если входные данные системы с матрицей неполного ранга заданы с ошибками, то никакое повышение точности вычислений и никакие преобразования не могут обеспечить гарантированной точности нормального псевдорешения. Как мы уже отмечали, для этого необходимо привлечение дополнительной информации о точной задаче. Но предположим все-таки, что после выполнения унитарных преобразований получена система с малыми строками или столбцами. Замена этих строк и столбцов нулевыми эквивалентна малому возмущению матрицы исходной системы. Если мы сможем достаточно точно найти нормальное псевдорешение полученной системы, то согласно результатам § 16 это означает, что достаточно точно будет вычислена проекция нормального псевдорешения точной системы на одно из подпространств, натянутых на правые сингулярные векторы. [16]
Если уравнение имеет более одного псевдорешения, то в общем случае малые возмущения в операторе и правой части всегда будут приводить к большим возмущениям в нормальном псевдорешении. [17]
Таким образом, если точная система линейных алгебраических уравнений совместна или почти совместна и возмущение мало по сравнению с минимальным ненулевым сингулярным числом точной матрицы, то нормальное псевдорешение можно определить по возмущенной системе с такой же точностью, как и для системы с невырожденной матрицей. [18]
Псевдорешением ( или обобщенным решением) уравнения (85.1) называется любой вектор х Х, для которого функционал невязки достигает своего наименьшего значения. Псевдорешение наименьшей длины называется нормальным псевдорешением. [19]
Для определения параметра а обычно используют дополнительную информацию о решении. В некоторых задачах не требуется гарантированной близости к нормальному псевдорешению, а считается достаточным устойчивое определение минимума функционала невязки. [20]
Если матрица системы имеет полный ранг, то в некоторой окрестности изменения входных данных нормальное псевдорешение непрерывно. Если же матрица системы не имеет полного ранга, то в любой окрестности изменения входных данных нормальное псевдорешение разрывно. [21]
Плохая определимость нормального псевдорешения в условиях возмущения входных данных в конечном счете связана с плохой определимостью его проекций на правые сингулярные векторы матрицы системы, соответствующие малым сингулярным числам. Смысл привлечения дополнительной информации состоит в том, чтобы тем или иным способом исключить влияние этих проекций, не потеряв существенно точность нормального псевдорешения. [22]
Однако отметим, что в действительности сингулярное разложение использовалось нами лишь для того, чтобы аппроксимировать исходную матрицу близкой матрицей меньшего ранга, для которой легко находится нормальное псевдорешение. Для этих целей вполне пригоден процесс (40.1), (40.2), особенно в том случае, когда матрица системы имеет оторванную группу малых сингулярных чисел. Нужная аппроксимация получается путем замены строк и столбцов матрицы Gh, имеющих малые элементы, нулевыми строками и столбцами. [23]
Если входные данные системы с матрицей неполного ранга заданы с ошибками, то никакое повышение точности вычислений и никакие преобразования не могут обеспечить гарантированной точности нормального псевдорешения. Как мы уже отмечали, для этого необходимо привлечение дополнительной информации о точной задаче. Но предположим все-таки, что после выполнения унитарных преобразований получена система с малыми строками или столбцами. Замена этих строк и столбцов нулевыми эквивалентна малому возмущению матрицы исходной системы. Если мы сможем достаточно точно найти нормальное псевдорешение полученной системы, то согласно результатам § 16 это означает, что достаточно точно будет вычислена проекция нормального псевдорешения точной системы на одно из подпространств, натянутых на правые сингулярные векторы. [24]
Если входные данные системы с матрицей неполного ранга заданы с ошибками, то никакое повышение точности вычислений и никакие преобразования не могут обеспечить гарантированной точности нормального псевдорешения. Как мы уже отмечали, для этого необходимо привлечение дополнительной информации о точной задаче. Но предположим все-таки, что после выполнения унитарных преобразований получена система с малыми строками или столбцами. Замена этих строк и столбцов нулевыми эквивалентна малому возмущению матрицы исходной системы. Если мы сможем достаточно точно найти нормальное псевдорешение полученной системы, то согласно результатам § 16 это означает, что достаточно точно будет вычислена проекция нормального псевдорешения точной системы на одно из подпространств, натянутых на правые сингулярные векторы. [25]