Cтраница 3
Для построения теории одномерных сингулярных интегральных уравнений весьма важную роль в нашем изложении играет задача линейного сопряжения аналитических функций; однако, как мы знаем, многие результаты этой теории можно получить без привлечения задачи сопряжения, при помощи непосредственной регуляризации. Последний метод допускает обобщение на многомерный случай и часто применяется в теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. [31]
Существенной переработке, подверглась глава VI, в которой совершенно изменен метод решения граничной задачи сопряжения для систем функций: в первом издании был в основном применен метод И. Племеля, опирающийся на теорию интегральных уравнений Фредгольма, здесь же применяется метод, опирающийся на теорию сингулярных интегральных уравнений, гораздо проще приводящий к цели. [32]
Существенной переработке подверглась глава VI, в которой совершенно изменен метод решения граничной задачи сопряжения для систем функций: в первом издании был в основном применен метод И. Племеля, опирающийся на теорию интегральных уравнений Фредгольма, здесь же применяется метод, опирающийся на теорию сингулярных интегральных уравнений, гораздо проще приводящий к цели. [33]
I-III) посвящена вырождающимся эллиптическим и гиперболическим уравнениям. I приводятся некоторые необходимые для дальнейшего сведения из теории гипергеометрических функций, теории интегродифференциальных операторов произвольного порядка, теории сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутого контура и др. В гл. II н III рассматриваются вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. Здесь изложена теория потенциала для простейшего вырождающегося эллиптического уравнения. Построена функция Грина для основных краевых задач. Для вырождающихся гиперболических уравнений выписаны в явном виде решения задач Коши, Коши - Гурса. [34]
Понтер в ряде мемуаров вернулся к общей теории интегральных уравнений в интегралах Стилтьеса и, пользуясь представлением резольвенты в звезде Миттаг-Леф - лера ( Mitiag-Leiflei), построил спектральную функцию для широкого класса таких уравнений. Эти работы Гюнтера имеют много точек соприкосновения с известными работами Вейля ( Weyl) и Карлемапа ( Carleman) по теории сингулярных интегральных уравнений. [35]
Таким образом, построение общего решения уравнения Бельтрами (3.5) сводится к построению некоторого его гомеоморфизма, реализующего топологическое отображение. Построение гомеоморфизмов уравнения Бельтрами представляет в общем случае довольно трудную задачу и требует применения сложного аппарата современного анализа, в частности, теории сингулярных интегральных уравнений. Ниже в общих чертах изложим один способ построения гомеоморфизмов уравнения Бельтрами, не вдаваясь в детали доказательства. Строгое его обоснование можно найти в книге автора [1], гл. [36]
Теория интеграла типа Коши показывает ( см. разд. Коши, взятого по бесконечной кривой, равна нулю на бесконечности, то свойства интеграла в случаях конечного и бесконечного контуров во всем существенном совпадают. Поэтому теория сингулярного интегрального уравнения на бесконечном контуре в классе исчезающих на бесконечности решений совпадает с теорией уравнения на конечном контуре. [37]
Книга состоит из двух глаь, не одинаковых по величине. Первая глава содержит основные факты теории интегральных уравнений, а также методы приближенного их решения. Особое место занимает в этой главе теория сингулярных интегральных уравнений, содержащих главное значение интеграла. Достаточно хорошо разработанная, имеющая многочисленные и весьма плодотворные приложения, она, тем не менее, до сих пор не нашла своего места в курсах интегральных уравнений. [38]
Римана ( 1 - 4) не достаточно для вычисления асимптотики решения исследуемой задачи Коши в осцилляторной области. Однако, отталкиваясь от функции У ж, исходную задачу Римана можно асимптотически свести к некоторой модельной задаче с постоянной матрицей сопряжения. Последняя допускает эффективный асимптотический анализ независимый от теории сингулярных интегральных уравнений. Эти вопросы будут подробно обсуждаться, в следующей публикации. [39]
В отличие от задачи Коши, к-рая формулой ( 3) решается до конца в общем виде, решения смешанных задач были получены только в частных случаях. Важнейшими являются: решения в замкнутом виде первой и второй основных смешанных задач для полуплоскости и полупространства, полученные методом комплексных волн и развитием метода характеристик; решения для волнового уравнения в случае шара, полученные методом функционально-инвариантных интегралов; решения нек-рых задач теории упругости развитием этого же метода, решения ряда задач дифракции. В общем случае получить решения в замкнутом виде не удается; если, однако, от этого требования отказаться, весьма общие результаты устанавливаются методами теории потенциалов и теории сингулярных интегральных уравнений. [40]
Этот метод широко применяется в физике. При этом существует много способов перехода от уравнений, имеющих сингулярные ядра, к уравнениям с гладкими ядрами. Эти вопросы решаются по стандартным схемам теории сингулярных интегральных уравнений, и им посвящена обширная литература. [41]