Cтраница 2
Важную роль при исследовании применимости проекционных методов к граничным интегральным уравнениям играют следующие два предложения о возмущении операторов из класса n Ph, Qh вполне непрерывными или малыми по норме операторами. [16]
Если оператор задачи 1 неограничен, то можно по-прежнему изучать асимптотическое поведение семейств (4.13) и (4.31) при возмущениях оператора. [17]
В частности, если удается превратить множество возмущенных операторов в метрическое пространство, то можно ставить вопрос о конструировании РА для соответствующего отображения и при возмущениях оператора задачи. Ниже в основном исследуются с этой точки зрения задача 1 ( задача решения линейного операторного уравнения) и семейства (4.13) и (4.31), причем оператор А считаем ограниченным. [18]
Однако в реальных задачах часто имеют дело не только с приближенной правой частью ( приближенным аргументом), но и с приближенным оператором. Поэтому целесообразно изучать асимптотическое поведение аппроксимирующих семейств при возмущениях оператора. [19]
Толкование термина теория возмущений и границы применимости этой теории зависят, конечно, от рассматриваемой задачи. Как правило, в спектральных вопросах оператор Шредин-гера можно рассматривать как возмущение оператора кинетической энергии, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится к нулю на бесконечности. Напротив, для неубывающих ( например, периодических) потенциалов картина качественно меняется, и структура спектра очень чувствительна к особенностям в поведении потенциала. [20]
Как уже было сказано выше, доказанная в предыдущем параграфе теорема 1 позволяет получать формулы регуляризованных следов для широкого класса задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра. Представляет значительный интерес вопрос о получении формул регуляризованных следов дифференциальных операторов с частными производными. В данном параграфе мы изложим решение этой задачи, основанное на теории возмущений абстрактных дискретных операторов. [21]
Отсутствие прямых методов решения большинства задач современной математической физики давно уже утвердило среди прикладных математиков идею возмущений. Трактовку возникающих при этом приемов принято относить к компетенции асимптотического анализа. Парадоксально, что к настоящему времени асимптотология [ I ] параметрических методов, т.е., фактически, анализ возмущений операторов, развивается гораздо энергичнее, чем изучение координатных разложений решений уравнения в фазовом пространстве задачи. Резонер, вероятно, указал бы на различие между практикой законодателей и юристов. [22]
Это уравнение можно привести к такому виду, который делает возможным применение методов теории возмущений. Основное преимущество такого подхода заключается в его независимости от каких-либо предположений о самосопряженности и естественном характере его применения к операторам с непрерывным спектром. Аналитическая часть работы, связанной с применением метода Фридрихса, оказывается наиболее простой в том случае, когда спектр оператора Т заполняет целую область, и потому сначала разбирается именно этот случай. Затем разрабатывается несколько более громоздкий технический аппарат в случае оператора, непрерывный спектр которого заполняет интервал вещественной оси, и изучаются приложения к интегральным операторам Вольтерра и операторам, полученным возмущением оператора Лапласа V2 - Эти последние операторы и многие обобщенные операторы такого же рода, весьма сложный анализ которых мы не приводим, являются важными в квантовой теории. [23]
В этой главе мы изучим вопрос, затронутый в теореме XVI.5.2; другими словами, мы получим некоторые достаточные условия равномерной ограниченности булевой алгебры проекторов Е ( а; Т), связанной с компонентами спектра оператора, имеющего вполне несвязный спектр. Тем самым мы установим аналитические условия спектральности оператора. Основная идея нашего метода состоит в следующем: если Т - спектральный оператор, а оператор Р в некотором смысле достаточно мал по сравнению с Г, то и оператор Т Р спектрален. Оказывается, для того чтобы оператор Р можно было считать достаточно малым по сравнению с Т, в качестве Т следует брать неограниченный оператор. Поэтому основная часть этой главы посвящена возмущениям неограниченных операторов; эта теория применяется затем к возмущениям дифференциальных операторов. [24]