Cтраница 1
Остальные аксиомы теории множеств довольно длинны и сложны. Чтобы переписать их в удобной для чтения форме, необходимо ввести некоторые сокращения. [1]
Таким образом, аксиома выбора не зависит от остальных аксиом теории множеств, и может быть принята как еще одна аксиома нашей теории. Но поскольку она встречает неодобрение многих математиков ( в особенности с появлением в последнее время не менее привлекательной аксиомы детерминированности AD, противоречащей АС), мы не будем рассматривать ее как еще одну аксиому ZF, а для теории ZF AC введем специальное обозначение ZFC. Следуя Куратовскому [9], все утверждения, которые мы будем доказывать в рамках теории ZFC, мы будем отмечать знаком, выставляя его перед ключевым словом утверждения, например, Теорема. [2]
Подобная ситуация действительно возникла после доказательства Коэ-ном [1 ] независимости аксиомы выбора от остальных аксиом теории множеств. Впрочем, в отличие от Козна и Херша [1] Новиков [2] оценивает создавшееся положение иначе. [3]
Все сказанное имеет, однако, смысл, когда присоединение той или иной формы аксиомы выбора или ее отрицания к остальным аксиомам теории множеств ( эти последние образуют систему Цермело - Френкеля ZF) не приводит к противоречию. Если бы присоединение АС к аксиомам ZF давало противоречивую теорию, то мы могли бы опровергнуть аксиому выбора, отправляясь от аксиом ZF, которые, как принято считать, адекватно формализуют известные приемы математических рассуждений. [4]
В последнее время удалось доказать, что с аксиомой выбора дело обстоит так лее, как и с континуум-гипотезой, то есть что эта аксиома не противоречит остальным аксиомам теории множеств и не выводима из них. [5]
Тогда возникают два вопроса: совместима ли континуум-гипотеза с остальными аксиомами теории множеств и является ли она независимой. Ответы на оба эти вопроса оказываются утвердительными, в чем можно убедиться, как и в случае аксиомы о параллельных, на подходящей модели. Эта модель не слишком сложна и строится в рамках самой теории множеств, подобно тому как модель Кэли была построена в рамках евклидовой плоскости. [6]
Подчеркнем, что в теореме 3 доказана эквивалентность перечисленных там свойств, а не справедливость какого-либо из них. Аксиома выбора действительно является ак-гиомой и не может быть выведена из остальных аксиом теории множеств. [7]
Коэн доказал, что гипотеза о существовании такого множества не зависит от остальных аксиом теории множеств. [8]
Он доказал, что континуум-гипотеза ( и аксиома выбора Цермело) не зависит от остальных аксиом теории множеств. Иначе говоря, и сама аксиома, и ее отрицание не противоречат Остальным аксиомам теории множеств. [9]
Он доказал, что континуум-гипотеза ( и аксиома выбора Цермело) не зависит от остальных аксиом теории множеств. Иначе говоря, и сама аксиома, и ее отрицание не противоречат Остальным аксиомам теории множеств. [10]
В первом случае можно показать, что множества А и В эквивалентны Что же касается другого случая, то он на самом деле невозможен. Это можно вывести из теоремы Цермело. Таким образом, для любых двух множеств Л и В их мощности сравнимы. Так введенное отношение порядка удовлетворяет свойствам 1) - - 3) п 3 Счетная мощность является наименьшей бесконечной мощностью. Вопрос о том, является ли мощность континуума следующей за ней или между ними есть промежуточные ( так называемая континуум-гипотеза) долго не поддавался решению. Недавно было доказано, что утверждение об отсутствии промежуточной мощности не противоречит остальным аксиомам теории множеств и не может быть выведено из этих аксиом. [11]
Весьма большое значение для развития математики могут иметь и открытия, лишенные столь революционного характера. Оно неслыханно упростило вычис ления, связанные с необходимостью умножать, делить, возводить в степень, извлекать корни различных степеней. Вместо всего этого потребовалась гораздо более кропотливая, но одноразовая работа по составлению таблиц логарифмов: Такого рода упрощения приносят гораздо большую пользу прикладным наукам, чем ма-тематическим теориям. Сам математический метод также может служить источником интересных и важных задач. Более точно: всегда ли выполняется альтернатива, состоящая в том, что можно доказать либо утверждение, либо его отрицание. Речь идет не о том, чтобы найти способ, позволяющий доказать или опровергнуть утверждение, а о принципиальной разрешимости математических задач. Этот вопрос тесно связан с аксиоматикой, или наукой о математических аксиомах. Известно, например, что задача о параллельных не решена в обобщенной геометрии, система аксиом которой не содержит аксиомы о параллельных. Однако с большой вероятностью можно предположить, что аксиому бесконечности или аксиому выбора Цермело не удастся вывести как теО рему из других аксиом. Обе они представляют собой истинные аксиомы, независимые от остальных аксиом теории множеств. [12]