Cтраница 3
Поэтому можно независимые друг от друга отношения дуальных чисел А1: Л2: Л3, следуя Шмуди, взять в качестве однородных дуальных координат для общей оси наших нуль-систем. [31]
Как уже сказано, в геометрии нуль-система имеет столь же выдающееся значение и притом в двух аспектах. Прежде всего нуль-система определяет зависящее от трех параметров многообразие прямых линий, которые называются ее ну ль-прямыми. Под нуль-прямой понимают всякую прямую линию, которая соединяет какую-нибудь точку пространства с любой точкой, принадлежащей соответствующей нуль-плоскости. Однако при точном подсчете подучается только трехмерная совокупность нуль-прямых, потому что всякая нуль-прямая для каждой ее точки является нуль-прямой, так как плоскость, соответствующая некоторой точке в нуль-системе, вращается вокруг нуль-прямой, если точка продвигается по этой нуль-прямой. Это является непосредственным следствием из ранее ( стр. [32]
Присоединим сюда таким же образом еще линейный комплекс нуль-системы, содержащий пять параметров. Следовательно, нуль-система переходит в себя с помощью коллинеации, зависящих еще от десяти постоянных. Если мы будем оценивать то внимание, которое-заслуживает образ, соответственно числу параметров его линейных преобразований в себя ( что имеет свое хорошее оправдание), то оказывается, что нуль-системы более совершенны, чем поверхности второй, степени. [33]
На несобственной плоскости имеется такая точка, которая соответствует этой плоскости в нуль-системе. Такого положения нуль-системы мы впредь будем твердо придерживаться. [34]
Еще более заслуживает быть отмеченным взаимное расположение обоих полиэдров. Так как в нуль-системе каждая точка лежит в соответствующей ей плоскости, то в нуль-системе каждая вершина одного полиэдра лежит на некоторой грани второго полиэдра, и обратно, каждая вершина второго полиэдра лежит на некоторой грани первого полиэдра. Но это означает, что полиэдры например два тетраэдра, являются взаимно вписанными и описанными. В том, что таким образом расположенные полиэдры легко можно построить, состоит второе геометрическое значение нуль-системы. [35]
Работа Кремона основывается на применении нуль-системы, без чего, конечно, общая задача графической статики не могла бы быть решена. Действительно, с помощью нуль-системы очень удобно построить напряжения для определенных простых случаев ферм. [36]
Пусть в линейном пространстве задана какая-нибудь поверхность Ftf к ней мы построим поверхность F & сопряженную относительно линейного комплекса, определяя в каждой точке соответствующую полярную плоскость. В силу инволюционного свойства нуль-системы отношение поверхностей Fl и F2 является взаимным. [37]
В этой несобственной плоскости имеется некоторая горизонтальная прямая линия, сопряженную поляру которой мы будем теперь рассматривать. Мы называем эту последнюю осью нуль-системы и утверждаем, что она проходит вертикально. Чтобы в этом убедиться, сообразим, как найти соответствующую сопряженную поляру. Мы рассматриваем все плоскости, которые проходят через горизонтальную несобственную прямую; таковыми будут все горизонтальные плоскости, к которым надо причислить также и самую несобственную плоскость. Каждой из этих плоскостей принадлежит некоторая лежащая в ней точка; совокупность этих точек и образует искомую сопряженную поляру. Среди этих точек находится так же вертикально над ними лежащая точка, как точка, соответствующая несобственной плоскости; следовательно ось должна быть вертикальной линией. [38]
Это предложение особенно наглядно показывает нам, что для точек, близких к оси, соответствующая плоскость будет почти горизонтальна, тогда как, наоборот, для далеко удаленных точек она будег направлена почти вертикально. Все сказанное позволяет нам наглядна геометрически представить нуль-систему; нам остается лишь добавить некоторые литературные замечания о применении нуль-системы. [39]
Двойственным образом мы получим при фиксированных Mi уравнение точки, которая соответствует этой плоскости 4 куль-системе. Совокупность наших прямых линий будет представлена опять нуль-прямыми нуль-системы. [40]
Наряду с таким образом определенными инвариантными выражениями ( абсолютными инвариантами) имеются, далее, еще инвариантные уравнения, левые части которых так составлены из козфициентов рассматриваемых образов, что они при линейном преобразовании отличаются от первоначальных только множителем. При этом мы напомним об уравнении, которое в теории нуль-системы выражало, что дело идет о специальной нуль-системе ( стр. Эти несколько расплывчатые определения уточняются теперь при переходе к настоящей теории инвариантов. [41]
Так как через него проходит ось постоянного направления, то и она является неподвижной, что и утверждалось. Обратно, легко убедиться, что соотношения ( 6) изображают все нуль-системы, коаксиальные с данной. [42]
Еще более заслуживает быть отмеченным взаимное расположение обоих полиэдров. Так как в нуль-системе каждая точка лежит в соответствующей ей плоскости, то в нуль-системе каждая вершина одного полиэдра лежит на некоторой грани второго полиэдра, и обратно, каждая вершина второго полиэдра лежит на некоторой грани первого полиэдра. Но это означает, что полиэдры например два тетраэдра, являются взаимно вписанными и описанными. В том, что таким образом расположенные полиэдры легко можно построить, состоит второе геометрическое значение нуль-системы. [43]
Наряду с таким образом определенными инвариантными выражениями ( абсолютными инвариантами) имеются, далее, еще инвариантные уравнения, левые части которых так составлены из козфициентов рассматриваемых образов, что они при линейном преобразовании отличаются от первоначальных только множителем. При этом мы напомним об уравнении, которое в теории нуль-системы выражало, что дело идет о специальной нуль-системе ( стр. Эти несколько расплывчатые определения уточняются теперь при переходе к настоящей теории инвариантов. [44]
Это предложение особенно наглядно показывает нам, что для точек, близких к оси, соответствующая плоскость будет почти горизонтальна, тогда как, наоборот, для далеко удаленных точек она будег направлена почти вертикально. Все сказанное позволяет нам наглядна геометрически представить нуль-систему; нам остается лишь добавить некоторые литературные замечания о применении нуль-системы. [45]