Cтраница 1
Понятия непрерывности, измеримости и другие понятия анализа непосредственно к случайным функциям в широком смысле неприменимы. [1]
Понятия непрерывности функции в точке, в области и перечисленные свойства непрерывных функций двух переменных легко обобщаются на функции трех и более переменных. [2]
Посмотрим, чем отличаются понятия непрерывности и равномерной непрерывности. Во-первых, равномерная непрерывность есть свойство функции на множестве, тогда как непрерывность может быть определена в одной точке. Бессмысленно спрашивать, является ли данная функция равномерно непрерывной в некоторой точке. [3]
Каждому из предыдущих понятий предела соответствуют понятия непрерывности, дифференцирования и интегрирования. [4]
Сколь далеко можно идти за пределами наглядного и не анализируемого далее понятия непрерывности. Этими разъяснениями мы хотели показать, что логически проанализированное и более или менее формализованное понятие непрерывности лежит в другом контексте, а вовсе не в анализе. Это понятие, если вообще говорить о нем, следует рассматривать на логической основе, во взаимосвязи с логикой и для углубления изучения логики. Для анализа же, как он изучается в школе, формализованное понятие непрерывности несущественно. Степень формализации понятия непрерывности зависит от глубины понимания школьником логики, и именно в этой взаимосвязи следует рассматривать понятие непрерывности. [5]
Изложение строится в основном традиционно. Однако при введении понятий предела функции и ее непрерывности автор считает необходимым начинать с понятия непрерывности, как более знакомого из повседневной жизни. Это и есть непосредственное, житейское понимание непрерывности функции. [6]
Линейный оператор А, действующий из X в Y, называется ограниченным, если он определен на всем X и каждое ограниченное множество пространствах переводит в ограниченное множество пространства Y. Хорошо известно, что для линейных операторов в банаховых пространствах ( вообще говоря, необходимо предположить еще выполнение первой аксиомы счетности, но останавливаться на этом не будем) понятия непрерывности и ограниченности равносильны - линейный оператор А, действующий из X в Y и определенный на всем пространстве X, непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. [7]
Линейный оператор А, действующий из X в У, называется ограниченным, если он определен на всем X и каждое ограниченное множество пространства X переводит в ограниченное множество пространства У. Хорошо известно, что для линейных операторов в банаховых пространствах ( вообще говоря, необходимо предположить еще выполнение первой аксиомы счетности, но останавливаться на этом не будем) понятия непрерывности и ограниченности равносильны: линейный оператор А, действующий из X в Y и определенный на всем пространстве X, непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. [8]
Геометрия изучает некоторое множество элементов, называемых точками, и некоторые подмножества этого множества: прямые, плоскости или, вообще фигуры. Вводятся некоторые операции, применяемые к элементам; они позволяют определить отображения одного подмножества на другое ( например, точечные преобразования. Это означает, что геометрия может рассматриваться как модель некоторой алгебры, к которой нужно присоединить некоторую топологию, вводящую понятия непрерывности. [9]
Операторы, зависящие от параметра. F) является банаховым пространством, то на оператор, зависящий от параметра, переносятся понятия непрерывности, дифференцируемости и аналитичности, рассмотренные - в предыдущем параграфе. [10]
Наше достаточное условие, таким образом, не является необходимым; с другой стороны, если задать произвольный расходящийся ряд с положительными членами 2 ап, то всегда можно построить функцию / ( х) без непрерывной производной такую, что Еп [ / ( х) ] ап. Следовательно, как бы ни была слаба расходимость ряда Еп [ / ( х) ], она способна нарушить непрерывность производной; значит, невозможно ослабить достаточное условие, которое, как мы только что видели, не является в то же время необходимым. Итак, вообще говоря, классы функций 3 ( для а 1) и 3 bis не могут быть полностью характеризованы при помощи наилучшего приближения; существуют предельные случаи, когда природа непрерывности производной ( которая не выражается никаким условием Липшица) так мало отличается от некоторой формы разрывности, что посредством одного лишь рассмотрения наилучших приближений En [ f ( х) ] ( для всех п) невозможно решить, является ли эта производная непрерывной или нет. Я полагаю, что изучение этих критических случаев, когда функции, обладающие одним и тем же порядком наилучшего приближения, различаются, повидимому, своими дифференциальными свойствами, могло бы способствовать более глубокому уяснению самого понятия непрерывности. [11]