Cтраница 2
В качестве второго члена было выбрано слагаемое вида 63 sin ( Зях / L) вместо 62 s n ( 2nx / L) r потому что последнее дало бы линию прогиба, несимметричную относительно середины пролета балки, а это привело бы к тому, что в силу принципа стационарности потенциальной энергии параметр 62 обратился бы в нуль. Приведенная в представлении ( d) комбинация двух синусоидальных членов является лучшим приближением к истинному уравнению линии прогибов, чем любой из этих членов в отдельности. [16]
В теории конечных деформаций упругого тела принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа стационарности потенциальной энергии при условии, что существуют функция энергии деформации материала тела и функции потенциалов внешних сил. Как только принцип стационарности потенциальной энергии установлен, он может быть обобщен с использованием множителей Лагранжа. [17]
Здесь потенциальная энергия выражена через параметр перемещения б, который на данном этапе исследования является неизвестной величиной. Однако из принципа стационарности потенциальной энергии известно, что перемещения конструкции должны иметь такие величины, при которых потенциальная энергия достигает стационарного значения. При выборе деформированной формы балки ( см. выражение ( а)) был использован только один параметр перемещения, поэтому именно этот параметр должен иметь такую величину, при которой потенциальная энергия становится стационарной. [18]
Из этих уравнений сразу же получаются уравнения ( е) и ( f) примера 1 ( разд. Таким образом, очевидно, что принцип стационарности потенциальной энергии приводит непосредственно, к уравнениям равновесия и соответствует расчету конструкции методом перемещений. [19]
В более поздней статье [6,38] им дано дальнейшее развитие принципа стационарности потенциальной энергии. Биографические сведения об этом знаменитом ученом приведены в [1.1], стр. [20]
Изложение начинается с формулировки некоторых основных концепций, касающихся энергии деформации и дополнительной энергии, после чего энергетические методы применяются к расчету конструкций. Обсуждение энергии деформации включает i себя первую теорему Кастилиано, принцип стационарности потенциальной энергии, адетод Рэлея - - Ритца, а также связь этих принципов и методов с методами перемщений и жесткостей расчета конструкций. [21]
Однако при оценке точности получаемых таким образом приближенных решений следует соблюдать осторожность. Рассмотрим, например, применение метода Релея - Ритца в сочетании с принципом стационарности потенциальной энергии. Этот метод обеспечивает хорошее приближенное решение для перемещений, если допустимые функции выбраны соответствующим образом. [22]
Итак, мы несколько раз обращались к табл. 14.1. Естественно сделать вывод, что можно построить конечно-элементные модели, соответствующие приведенным в этой таблице вариационным принципам, способами, аналогичными принятым в линейной статической теории упругости. Среди этих моделей конечных элементов наиболее часто используется согласованная модель, основанная на принципе стационарности потенциальной энергии. Эта модель будет кратко обсуждаться с следующем параграфе. [23]
В-третьих, иногда вариационные принципы приводят к формулам для верхней и нижней оценки точного решения задачи. Другим примером служит формула для верхней границы наименьшей частоты колебаний упругого тела, полученная из принципа стационарности потенциальной энергии. [24]
Из-за авторского предпочтения приближенные уравнения задачи теории упругости будут часто выводиться из принципа виртуальной работы, поскольку он остается справедливым независимо от соотношений напряжения - деформации и существования потенциальных функций. Для консервативных задач теории упругости результаты, получаемые с помощью сочетания принципа виртуальной работы и обобщенного метода Галеркина, эквивалентны результатам, получаемым с помощью сочетания принципа стационарности потенциальной энергии и метода Ре-лея - Ритца. [25]
Приведенные выше два примера показывают, как можно использовать метод потенциальной энергии при расчете конструкций, проявляющих либо линейное, либо нелинейное поведение. Энергия деформации записывается через неизвестные перемещения узлов, а затем складывается с потенциальной энергией нагрузок, что дает полную энергию. Применение принципа стационарности потенциальной энергии приводит к системе уравнений, содержащей столько уравнений, сколько имеется неизвестных перемещений узлов. Эти уравнения представляют собой уравнения равновесия метода перемещений ( или метода жесткостей, если конструкция имеет линейное поведение) и могут быть решены относительно неизвестных перемещений. [26]
Итак, пусть сплошное тело мысленно разбито на конечные элементы, как указано в § 13.3, и при формулировке метода конечных элементов рассматривается как совокупность этих элементов. В этом параграфе рассмотрим вариационные принципы, которые обычно используются в МКЭ. Для этого проследим в табл. 14.1 вывод вариационных принципов, начиная с принципа стационарности потенциальной энергии, последовательно выводя модифицированный принцип потенциальной энергии, модифицированный обобщенный принцип и кончая модифицированным принципом Хеллингера - Рейсснера. [27]
Предположим, однако, что мы имеем дело с конструкцией, где число степеней свободы очень велико, возможно даже бесконечно велико. Такая деформированная форма характеризуется функцией формы, содержащей один или несколько неизвестных параметров перемещения. Тогда потенциальную энергию можно вычислить на основе этой выбранной деформированной формы, а это означает, что потенциальная энергия будет выражаться как функция неизвестных параметров перемещения. В соответствии с принципом стационарности потенциальной энергии значения перемещений должны быть такими, чтобы потенциальная энергия имела стационарное значение. [28]