Cтраница 3
Рассматриваемое аналитическое продолжение переводит линии тока в линии тока, изобары и изоклины в изобары и изоклины, свободные линии тока в свободные линии тока, многоугольные стенки в параллельные многоугольные стенки, источники и вихри в бесконечно удаленные источники и вихри. [31]
Это аналитическое продолжение можно со вершать вдоль какого-либо луча Ьхъ начиная с точки ( О, О), В случае, когда существует предельный цикл, можно с успехом совершать аналитическое продолжение вдоль координатных осей дг2 или хг. [32]
Если аналитическое продолжение некоторого исходного элемента функции возможно по любому пути, лежащему в некоторой односвязной области В, то эти аналитические продолжения вдоль путей, принадлежащих В, дают однозначную в В функцию. [33]
Упомянутое аналитическое продолжение по всевозможным линиям внутри К может привести к однозначной или многозначной функции внутри К. Во втором случае, при многозначности получаемой внутри К функции, точка z b называется точкой разветвления. [34]
Используя аналитическое продолжение, распространим течение на всю плоскость t и найдем симметричные особые точки. [35]
Если аналитическое продолжение функции существует, то его можно построить с помощью цепочки кругов, описанной при доказательстве теоремы единственности. Если можно построить цепочку кругов, покрывающую данную кривую, то мы говорим об аналитическом продолжении вдоль этой кривой. Это всегда возможно, если существует аналитическое продолжение функции в область, содержащую эту кривую. В противном случае все круги цепочки покрывают лишь начальный участок кривой до некоторой точки, через которую аналитическое продолжение невозможно. Такие точки называются особыми, точками функции. [36]
Совершив первое аналитическое продолжение, переходим к следующему. [37]
Найдем аналитическое продолжение функции E ( z) на всю плоскость и получим для Е ( z) асимптотическую формулу при z - оо. [38]
Техника аналитического продолжения основана на аппарате аддитивного преобразования Фурье на группе А. [39]
Шварца аналитического продолжения функции комплексного переменного является частным случаем только что установленного предложения о продолжении гармонической функции. Более того, мы можем теперь сказать, что для аналитического продолжения функции комплексного переменного достаточно, чтобы ее действительная или мнимая часть принимала на дуге аналитическую последовательность значений. В этом случае действительная или мнимая часть функции будет функцией гармонической, продолжаемой через дугу, и отсюда заключаем, что и сама функция комплексного переменного обладает тем же свойством. [40]
Для аналитического продолжения матрицанта в область G удобно пользоваться мультипликативным интегралом. [41]
Задача аналитического продолжения функции f ( z), определенной на некотором множестве Е, заключается в таком распространении определения этой функции на возможно более широкую область D гэ Е, при котором f ( z) была бы аналитической и в области D. [42]
Шварца аналитического продолжения функции комплексного переменного является частным случаем только что установленного предложения о продолжении гармонической функции. Более того, мы можем теперь сказать, что для аналитического продолжения функции комплексного переменного достаточно, чтобы ее действительная или мнимая часть принимала на дуге аналитическую последовательность значений. В этом случае действительная или мнимая часть функции будет функцией гармонической, продолжаемой через дугу, и отсюда заключаем, что и сама функция комплексного переменного обладает тем же свойством. [43]
Для аналитического продолжения функций F ( a, fi, f, z) и F ( a, i, z) на более широкую область изменения параметров удобно опираться на рекуррентные соотношения для этих функций. [44]
Под аналитическим продолжением понимают следующий процесс: если функция уже определена в некотором определенном круге-сходимости степенным рядом, то ее разумеется также можно разложить в ряд по целым положительным степеням ( z - 2), сходящийся: в некоторой окрестности точки zr9 где z - произвольная точка, лежащая внутри круга сходимости. Быть может эти новые круги сходимости выйдут за пределы старого круга и тем самым сделают возможным продолжение определения нашей функции на новые области. Это получение новых областей, в которых можно определить нашу функцию, и называется аналитическим продолжением. Если это аналитическое продолжение производить столь далеко, как только возможно, то получится полная функция, которую следует обязательно отличать от элемента функции уже хотя бы потому, что элемент функции однозначен, тогда как полная функция может быть и многозначной. Именно в теории этих полных функций и состоит красота современной теории функций, так как полные функции часто можно полностью-охарактеризовать общими свойствами, не обращая внимания на каждое специальное представление. [45]