Cтраница 2
Что касается изменений в физической части, то в главе IV яснее представлена роль группы виртуальных поворотов пространства. Но главное - добавлены несколько параграфов, которые имеют дело с теоремой об энергии - импульсе в квантовой физике и с квантованием волнового уравнения по недавней работе Гейзенберга и Паули. Это расширение уже так далеко уводит от главной цели этой книги, что я был вынужден опустить согласующуюся с требованиями теории относительности формулировку квантовых законов, развитую В. Фоком и мной, несмотря на то, что она нужна при выводе тензора энергии - импульса. Фундаментальная проблема протона и электрона обсуждается в связи со свойствами симметрии квантовых законов относительно замены правого - левым, прошлого - будущим и положительного электричества - отрицательным. В настоящее время в поле зрения нет никакого подходящего решения этой проблемы; я боюсь, что облака, нависшие над этой частью предмета, соберутся в новый кризис квантовой физики. [16]
Иначе говоря, поле U ( М) осесимметрическое, если оно переходит само в себя при повороте пространства ( на произвольный угол) вокруг некоторой фиксированной прямой - оси симметрии этого поля. [17]
Обозначим данную плоскость через тг, и пусть тг Л ( тг), где R - некоторый поворот пространства вокруг оси а. Тогда преобразование Л 1 о Р совпадает ( докажите самостоятельно) с преобразованием, о котором идет речь в формулировке задачи. [18]
Из предыдущего непосредственно вытекает еще одно важное обстоятельство, а именно: все вещественные матрицы, которым соответствует поворот пространства на некоторый определенный угол р, могут быть приведены при помощи преобразования подобия ( различного для различных матриц) к одному и тому же виду ( 199), и следовательно, все такие матрицы будут подобны между собой. [19]
Из предыдущего непосредственно вытекает еще одно важное обстоятельство, а именно: все вещественные матрицы, которым соответствует поворот пространства на некоторый определенный угол у, могут быть приведены при помощи преобразования подобия ( различного для различных матриц) к одному и тому же виду ( 199), и, следовательно, все такие матрицы будут подобны между собой. [20]
Эйлер разлагает поворот пространства около точки, есть поворот вокруг некоторой оси, про-ходящей через эту точку, то достаточно разобрать, какое аффинное преобразование индуцируется поворотом пространства вокруг оси, проходящей через центр сферы, аффинным образом которой является данный эллипсоид. [21]
Геометрический смысл доказанной теоремы состоит в том, что произвольное невырожденное линейное преобразование можно осуществить, произведя последовательно три растяжения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей е, е %, е3 и совершив затем поворот пространства вместе с этими осями. [22]
С другой стороны, из аналитической геометрии в трехмерном пространстве известно, что линейное преобразование х, у, г, которое преобразует сумму х2 - f у2 22 в себя ( так называемое ортогональное преобразование) и которое, кроме того, имеет положительный определитель, изображает поворот пространства вокруг начала координат и что всякий поворот может быть так представлен. [23]
Если - спроектировать на плоскость ху параллельно оси z сечения параболоида ( 1) или ( 2), параллельные плоскостям хг и уг то получится ортогональная сетка прямых ( черт. При параболических поворотах пространства, образующих первое семейство, эта сетка будет передвигаться как жесткое целое параллельно оси х, а при параболических поворотах, образующих йторое семейство, она будет передвигаться как жесткое целое параллельно оси у. [24]
Поворот плоскости Z-а на угол а, отличный от 0 и 180, очевидно, действительных собственных векторов не имеет. Если же а 0 или а 180, то получим тождественное преобразование или отражение от точки, для которых любой вектор - собственный. В отличие от этого поворот пространства L3 имеет единственное действительное собственное направление, совпадающее с направлением оси вращения ( см. упр. [25]
Функция 7 имеет степень 2; точки 0 и е являются ее простыми нулями, а точки р - простыми полюсами. Так как 7 - вещественная либо мнимая функция над вещественной z - осью, мы получаем, что р также является либо вещественным, либо мнимым числом. Произведя, если необходимо, поворот пространства R3, мы всегда можем сделать р вещественным положительным числом. Известно ( см. теорему 2.1), что дифференциал dh имеет простые нули в точках 0 и р и не имеет полюсов ни в одной конечной точке. [26]
Уравнения преобразования ( 23) ( частными случаями которых служат ( 19) и ( 20)) могут быть истолкованы еще как соотношения, определяющие новую точку Р с координатами X, g, S относительно той же самой системы координат Охуг. Преобразование, в котором точка Р соответствует точке Я с координатами ж, у, г, состоит в последовательном выполнении параллельного переноса и поворота пространства ( см. также пп. [27]
Уравнения преобразования ( 23) ( частными случаями которых служат ( 19) и ( 20)) могут быть истолкованы еще как соотношения, определяющие новую точку Р с координатами х, у, г относительно той же самой системы координат Охуг. Преобразование, в котором точка Р соответствует точке Р с координатами х, у, г, состоит в последовательном выполнении параллельного переноса и поворота пространства ( см. также пп. [28]
Это означает, что распределение ць определяется по F ( x) однозначно. Однако роль понятия многомерной функции распределения невелика. Дело в том, что в одномерном случае существует единственная система координат на прямой, с точностью до монотонной замены переменной. При монотонной замене переменной закон преобразования одномерной функции распределения ясен. В многомерном же пространстве возможны весьма многие системы координат. Уже при повороте пространства параллелепипеды с гранями, параллельными координатным плоскостям, непосредственно связанные с многомерной функцией распределения, перейдут в некие прямоугольные, но косо расположенные параллелепипеды, непонятно как связанные с функцией распределения. [29]
Глобальное поведение системы существенно изменяет самый смысл пространства и времени. Значительная часть геометрии и физики основана на простой концепции пространства и времени, с которой обычно связывают имена Евклида и Галилея. Согласно этой концепции время однородно. Сдвиги по времени никак не сказываются на физических явлениях. Пространство также однородно и изотропно. Описание физического мира не должно зависеть от сдвигов и поворотов пространства. Замечательно, что столь простая концепция пространства и времени может быть нарушена возникновением диссипативных структур. Коль скоро образуется диссипативная структура, однородность времени и пространства может быть нарушена. Мы подходим весьма близко к биологической концепции пространства-времени Аристотеля, о которой кратко упоминалось в предисловии. [30]