Cтраница 4
При Md - со и / - 0 размерность Хаусдорфа-Безиковича Dd, поэтому Б.Б. Мандельброт [3] при введении представлений о фракталах, назвал фрактальными множества, размерность Хаусдорфа-Безиковича для которых строго больше его топологической размерности. [46]
Но если матрица ( dfi / dXj) имеет ранг самое боль-шее р Ст-1 во всех точках множества V, то по теореме 2.3 множество V содержит гладкое многообразие У 2 ( У) размерности m - р 1, а это противоречит предположению, что V имеет топологическую размерность нуль, чем и завершается доказательство следствия А. [47]
Во введении мы, следуя [88], отметили основные признаки фрактального множества F: 1) F имеет тонкую структуру, то есть содержит произвольно малые масштабы; 2) F слишком нерегулярное, чтобы быть описанным на традиционном геометрическом языке; 3) F имеет некоторую форму самоподобия, допуская приближенную или статистическую; 4) обычно фрактальная размерность множества F больше, чем его топологическая размерность; 5) в большинстве интересных случаев F определяется очень просто, например, рекурсивно. Для множества Жюлиа, как правило, выполняются все пять признаков, и, следовательно, оно является фракталом. [48]
Чтобы прояснить неточные определения конструктивных и динамических фракталов, укажем основные свойства фрактального множества F, следуя [88]: 1) F имеет тонкую структуру, то есть содержит произвольно малые масштабы; 2) F слишком нерегулярное, чтобы быть описанным на традиционном геометрическом языке; 3) F имеет некоторую форму самоподобия, допуская приближенную или статистическую; 4) обычно фрактальная размерность множества F больше, чем его топологическая размерность; 5) в большинстве интересных случаев F определяется очень просто, например рекурсивно. [49]
Существует несколько принципиально разных определений размерности геометрического объекта. Топологическая размерность множества всегда выражается целым числом; это не противоречит интуитивному представлению о том, что кривые одномерны, а поверхности двумерны. Размерность Хаусдорфа лежит в основе фрактальной теории. Размерность Минковского может служить аналогом размерности Хаусдорфа, удобным для использования в прикладных задачах. Эти размерности, как правило, совпадают, но алгоритм определения размерности Минковского намного эффективнее. [50]
Представим себе последовательность фрактальных множеств, каждое из которых вложено в своего предшественника, а размерность D каждого последующего множества уменьшается, становясь в конце концов меньше - Окрит. Известно, что топологическая размерность может измениться - скажем, уменьшиться с 1 до 0 - лишь дискретно, однако эта дискретность является исключением: большая часть аспектов формы способна изменяться непрерывно. Например, размытая картинка, полученная путем замены каждой ее точки на шар радиуса р, изменяется непрерывно. [51]
Топологическая размерность DT - всегда равна целому числу. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одинаковую топологическую размерность Аг1 и одни и те же топологические свойства, т.е. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным образом. [52]
Топологическая размерность DT - всегда равна целому числу. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одинаковую топологическую размерность Е) т1 и одни и те же топологические свойства, т.е. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным образом. [53]