Cтраница 3
Первый связан с неестественностью того, что впервые четко сформулированное определение понятия предела не содержит в себе ни одного из тех частных случаев предела, которые раньше встречались на интуитивном уровне. Действительно, определение 1 не содержит в себе ни понятия предела последовательности, ни понятия предела по множеству рациональных чисел. Поэтому его нельзя использовать ни при определении длины отрезка, ни при определении площади прямоугольника, длины сторон которого выражаются произвольными действительными числами, ни при определениях длины окружности, площади круга, бесконечной суммы членов убывающей геометрической прогрессии, ни при определении степени числа с иррациональным показателем. [31]
Деление математики на элементарную и высшую носит довольно искусственный характер. Обычно к высшей относят те разделы математики, которые используют понятия предела и сходящейся последовательности. [32]
Первый связан с неестественностью того, что впервые четко сформулированное определение понятия предела не содержит в себе ни одного из тех частных случаев предела, которые раньше встречались на интуитивном уровне. Действительно, определение 1 не содержит в себе ни понятия предела последовательности, ни понятия предела по множеству рациональных чисел. Поэтому его нельзя использовать ни при определении длины отрезка, ни при определении площади прямоугольника, длины сторон которого выражаются произвольными действительными числами, ни при определениях длины окружности, площади круга, бесконечной суммы членов убывающей геометрической прогрессии, ни при определении степени числа с иррациональным показателем. [33]
В качестве довода приводится пример создания дифференциального и интегрального исчисления, возникшего и успешно применявшегося на два столетия раньше, чем математики сумели его логически обосновать. На самом деле необходимость обоснования дифференциального и интегрального исчисления была обусловлена как раз сложностями, возникшими при применении математического анализа как при решении математических, так и прикладных задач, причем эти сложности были связаны с отсутствием соответствующих точных математических понятий, прежде всего понятия предела. В результате этого применение указанных методов нередко приводило к неверным результатам, объяснить появление которых было в той ситуации невозможно. В качестве простого примера можно указать на расходящиеся ряды, которые, с одной стороны, успешно применялись еще Эйлером, а с другой стороны, служили доказательством того, что из ничего можно сделать все. [34]
Легко видеть, что для определения функциональной зависимости не является необходимым, чтобы X и Y были множествами чисел. Понимая под X и У множества элементов различного характера, мы приходим к понятию более общей функциональной зависимости, примеры которой имеются в разных ветвях функционального анализа, в частности, таковым является понятие функциональной зависимости, определенной на дискретном множестве с элементами комбинаторной природы. Что же касается понятия предела, то для дискретных конечных множеств, являющихся предметом нашего внимания, оно неприемлемо. [35]
Универсальные стрелки единственны лишь с точностью до изоморфизма; возможно, именно из-за отсутствия абсолютной единственности это понятие формировалось медленно. Примеры существовали в течение долгого времени; решительный шаг был сделан в работе ( Samuel [1948]), где действительно сформулировано общее понятие универсальной стрелки; затем Бурбаки придали этому общему понятию широкую известность. С другой стороны, понятия предела и копредела имеют долгую историю в виде разнообразных конкретных примеров. Так, копределы применялись при доказательстве теорем о представлении бесконечных абелевых групп в виде объединения их конечно порожденных подгрупп. Пределы ( по упорядоченным множествам) появляются в теории р-адических чисел Гензеля и при построении гомологии и когомологии Чеха посредством предельных процессов, формализованных Понтрягиным. [36]
Сформулированные выше эквивалентные между собой определения 3 и 4 предела функции в точке XQ при отказе от требования х XQ не являются новыми. Как и определение предела с условием х 7 XQ, они входят в более общее понятие предела по фильтру. Однако начинать изучение понятия предела с понятия предела по фильтру автору не представляется целесообразным ввиду большей сложности этого понятия по сравнению с пределом функции. [37]
Эти логос - идею - ппо-тесу - основание диалектика понимает еще и как предел чувств, становления. Этот предел становления вещи содержит в себе в сжатом виде все становление вещи и является как бы его планом, его структурой. Учение о бессмертии души вообще невозможно без понятия предела ( Phaed. [38]
Ясно, что, поскольку речь идет об окрестностях, R предполагаете наделенным топологической структурой; что касается множества М го в нем играет особую роль некоторое семейство подмножеств, а Ыенно гех, которые имеют конечное дополнение. Чтобы понятие продела обладало существенными свойствами, которые ему обычно присущи, от семейства требуется выполнение некоторых аксиом, которые сформулированы в § 6 гл. Впрочем, понятие фильтра, которое, таким образом, неотделимо от понятия предела, встречается в топологии повсюду: например, окрестности точни в топологическом пространстве образуют фильтр. [39]
В условиях эксплуатации важно строго поддерживать температуру газов на допустимом уровне, в противном случае продолжительность работы агрегата между ремонтами сокращается, а объем ремонтных работ и проверок возрастает. Так, превышение температуры металла на 20 С снижает срок службы ( предел длительной прочности) в 2 раза, а на 50 С - в 10 раз. Для определения свойств сплавов, применяемых в турбостроении, способных выдержать высокие температуры, большие центробежные нагрузки и быть стойкими к коррозии в течение длительного времени, используются понятия предела ползучести и предела длительной прочности. Большое значение имеет также сопротивляемость сплавов тепловому удару ( способность выдержать резкие изменения температуры без образования трещин) и их коррозионная стойкость. Кроме названных свойств жаропрочных материалов, являющихся решающими при выборе материалов в рассматриваемом случае, необходимо, чтобы они подвергались тщательной обработке. Эти материалы подвергаются, в основном ковке, штамповке, а также обработке резанием) но при использовании соответствующей технологии. [40]
Несмотря на огромный и вее возрастающий объем учебного материала, математика, как и другие науки, содержит сравнительно небольшое количество фундаментальных идей, конструкций и алгоритмов. Авторы исходили из того, что именно таким вопросам следует уделить главное внимание, и эта мысль была взята в качестве методической основы учебника. Среди фундаментальных математических идей, понятий и алгоритмов, изложенных в учебнике, подробно описаны: понятия линейного пространства, базиса, линейного отображения, собственного вектора и собственного значения, матрицы линейного преобразования и квадратичной формы, определителя, ранга матрицы; изменение матрицы квадратичной формы при изменении базиса; алгоритм Гаусса; понятия предела и бесконечно малой; понятие производной, ее геометрический и механический смысл; техника дифференцирования ( в частности, дифференцирование сложной функции); приложения производных к исследованию функций; формула Тейлора; вектор-функция скалярного аргумента; понятие комплексного числа. [41]
По мере продвижения от начала числа, образующие первую последовательность, все меньше и меньше отличаются от нуля. Единица служит пределом второй и третьей последовательностей. Понятия предела и сходящейся последовательности, три примера которых мы только что привели, лежат в основе дифференциального и интегрального исчисления. Иногда в этих понятиях усматривают наиболее характерные, отличительные особенности высшей математики. [42]
Методическое пособие написано на основе лекций, которые читались авторами в течение ряда лет на подготовительном отделении Московского университета. Большое внимание уделено тем разделам школьной программы, которые особенно важны при изучении высшей математики. Так, действительные и комплексные числа и операции над ними описаны достаточно подробно. Изложение элементарных функций включает понятия предела и непрерывности. Материал изложен доходчивым языком, причем строгость изложения нарастает постепенно, что дает возможность читателю активно включиться в повторение забытых разделов элементарной математики. Книга будет полезна слушателям подготовительных отделений вузов, а также всем тем, кто готовится к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения. [43]
Можно предположить, что, подбирая соответствующим образом значения величин fi, 2 и Д, получим микроскоп со сколь угодно большим увеличением. Однако на практике не используют микроскопы с увеличением свыше 1500 - 2000, так как возможность различения мелких деталей объекта в микроскопе ограничена. Это ограничение обусловливается влиянием дифракции света, происходящей в структуре рассматриваемого объекта. В связи с этим вводят понятия предела разрешения и разрешающей способности микроскопа. [44]
Детали горячего тракта ГТУ ( пламенные трубы камер сгорания и переходные участки, подводящие газы от камер сгорания к турбине, рабочие и направляющие лопатки) изготовляют из жаростойких, жаропрочных сталей и сплавов на никелевой, титановой и кобальтовой основах, сохраняющие прочность и необходимые рабочие качества при температурных 1000 - 1200 К. В условиях эксплуатации важно строго поддерживать температуру газов на допустимом уровне, в противном случае продолжительность работы агрегата между ремонтами сокращается, а объем ремонтных работ и проверок возрастает. Так, превышение температуры металла на 20 С снижает срок службы ( предел длительной прочности) в 2 раза, а на 50 С - в 10 раз. Для определения свойств сплавов, применяемых в турбостроении, способных выдержать высокие температуры, большие центробежные нагрузки и быть стойкими к коррозии в течение длительного времени, используются понятия предела ползучести и предела длительной прочности. Большое значение имеет также. Кроме названных свойств жаропрочных материалов, являющихся решающими при выборе материалов в рассматриваемом случае, необходимо, чтобы они подвергались тщательной обработке. Эти материалы подвергаются, в основном ковке, штамповке, а также обработке резанием) но при использовании соответствующей технологии. [45]