Cтраница 3
В этой реализации ( для краткости мы ее обозна чим К) тривиальным образом выполняются аксиомы первых двух групп и аксиома непрерывности. Таким образом, нам остается проверить аксиомы движения и аксиому параллельности. [31]
Требуется, чтобы для аффинной прямой, которая получается из проективной прямой при удалении какой-нибудь из ее точек, имела место аксиома непрерывности Дедекинда. [32]
В главе IV книги [32] Гильберт изящным примером показывает, что при доказательстве этой теоремы применение аксиомы Архимеда ( или какой-либо иной аксиомы непрерывности) неизбежно. Именно, в так называемых неархимедовых геометриях эквивалентность понятий равновеликости и равнодополняемости сохраняется ( для многоугольников), тогда как равносоставленность уже не будет эквивалентна этим понятиям. [33]
В античной науке концепция прерывности получила воплощение в физическом и математическом атомизме Левкиппа - Демокрита, некоторые свойства непрерывности - в аксиоме непрерывности Эвдокса - Архимеда, противоречивость противопоставления дискретное - непрерывное - в апориях Зенона. Однако дальнейшая разработка математического анализа ( и связанная с этим работа по уточнению самих понятий о непрерывном и дискретном) вплотную столкнула ученых с диалектикой отношения дискретное - непрерывное. [34]
Аксиоматическое изложение евклидовой геометрии, содержащееся в настоящей главе, опирается на пять групп аксиом: аксиомы связи, аксиомы порядка аксиомы движения, аксиома непрерывности и аксиома параллельности. [35]
Относительно расположения точек на прямой мы сохраняем уже отмеченные выше требования; в процессе исследования нам еще придется остановиться на точной формулировке дальнейших аксиом расположения и аксиом непрерывности. [36]
Основное предложение Штаудта особенно интересовало геометров с аксиоматической стороны ( в частности, этим вопросом занимались К. А. Андреев, А. К. Власов и др.), при этом было выяснено, что для строгого его доказательства необходимо введение аксиомы непрерывности. [37]
В формулировке аксиомы, которую мы сейчас приведем, фигурируют вещественные числа; но - на самом деле во всей главе будет существенно лишь то, что R есть линейно упорядоченное архимедово поле ( но без аксиомы непрерывности. Из этого замечания следует, что при обучении подростков 12 - 16 лет можно обойтись без использования полноты поля R и связанных с этим понятий верхней грани, сечения, возрастающей последовательности или фундаментальной последовательности. [38]
Каждая точка первого класса в смысле принятого определения отношения следования предшествует каждой точке второго класса. По аксиоме непрерывности, если она имеет место, должна быть точка ( р, 0), производящая разбиение на классы. Число р обладает свойствами: х, если ( х, 0) первого класса, ир -, если ( х, 0) второго класса. Но по определению классов таким свойством обладает только число Р - а. А ( а, 0) не является точкой прямой. И следовательно, аксиома непрерывности не выполняется. [39]
Аналогично, если А ( а ] есть лотерея, в которой вы выигрываете 4 миллиона долларов с вероятностью 1 - а и 0 долларов с вероятностью а, а В есть лотерея, в которой вы наверняка выигрываете 3 миллиона долларов, то А ( а) В для произвольного а 0, но А ( 0) В. Это нарушает аксиому непрерывности фон Неймана-Моргенштерна. [40]
Подобным же образом принцип непрерывности может быть посредством проектирования перенесен на пучок плоскостей. Поэтому в качестве аксиомы непрерывности для построения проективного - пространства было бы достаточно принять формулированную выше аксиому Дедекинда. [41]
Мы видели выше, что два отрезка заведомо находятся друг к другу лишь в одном соотношении, но всегда ли они находятся в каком-нибудь соотно шении. Мы знаем, что аксиома непрерывности позволяет ответить на этот вопрос утвердительно, а именно, следующим образом. [42]
Таким образом, мы построили реализацию системы всех аксиом евклидовой геометрии, кроме аксиомы непрерывности, которая в этой реализации не имеет места. Это и доказывает независимость аксиомы непрерывности от остальных аксиом евклидовой геометрии. [43]
Из расширенной аксиомы сложения следует аксиома непрерывности. [44]
Доказанная теорема позволяет привести содержательный, пример неполной системы аксиом. Именно, система аксиом евклидовой геометрии без аксиомы непрерывности является неполной. Эта система может быть пополнена новой аксиомой ( аксиомой непрерывности), не вытекающей из остальных аксиом и не противоречащей им. [45]